Лекции по Линейной алгебре

  • Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: .

    Следствие.

    Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

    Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

    Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

    1. Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой .

    Теорема B.

    1. .

    2. Множество является группой преобразований множества G.

    3. Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).

    Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .

    С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .

    Теорема С.

    1. Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

    2. Множество является группой преобразований множества G.

    3. Отображение сюръективно и сохраняет операцию.

    Доказательство.

    1. Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет операцию.

    2. Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда.

    3. Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.

    Замечание об инъективности отображения q.

    В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

    1. Смежные классы; классы сопряженных элементов.

    Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .

    Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

    Пример.

    Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть:

    , , .

    Правые смежные классы:

    , , .

    Все эти классы состоят из 2 элементов.

    Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

    , , , .

    В то же время,

    , , .

    Теорема Лагранжа.

    Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

    Доказательство.

    По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.

    Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .

    Следствие.

    Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

    В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1.

    1. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

    Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

    Определение.

    Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

    Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

    Примеры.

    1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

    2. В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

    3. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы и .

    4. Если - любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.

    5. Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.

    Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

    Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

    Доказательство.

    Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда

    = = = .

    Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.


    Абстрактная теория групп

    (продолжение)

    9 Гомоморфизм.

    Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма.

    Определение.

    Отображение групп называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть : .

    Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

    Примеры.

    1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

    2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом.

    3. Если - любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом.

    4. Пусть - нормальная подгруппа. Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

    5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

    6. Отображение , которое каждому перемещению n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции .

    Теорема (свойства гомоморфизма)

    Пусть - гомоморфизм групп, и - подгруппы. Тогда:

    1. , .

    2. - подгруппа.

    3. -подгруппа, причем нормальная, если таковой была .

    Доказательство.

    1. и по признаку нейтрального элемента . Теперь имеем: .

    2. Пусть p = a(h) , q = a(k) . Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2.

    3. Пусть то есть элементы p = a(h) , q = a(k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент. и потому .

    Определение.

    Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается .

    Теорема.

    Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда

    Доказательство.

    Поскольку , указанное условие необходимо. С другой стороны, если , то и если ядро тривиально, и отображение инъективно.

    Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

    Теорема о гомоморфизме.

    Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу): .

    Доказательство.

    Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаковые образы при отображении a : . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если , то и потому . Следовательно, и по предыдущей теореме j инъективно.

    Пусть - любой элемент. Имеем : . Следовательно, .

    10 Циклические группы.

    Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент. Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны, множество очевидно является подгруппой G .

    Определение.

    Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

    Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

    Примеры

    1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

    2. Группа поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом - поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, ...

    Теорема о структуре циклических групп.

    Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

    Доказательство.

    Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение - сюръективно. По свойству степеней и потому j - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме . H = KerZ. Если H - тривиальная подгруппа, то . Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZМH. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn О H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

    Отметим, что » Z / nZ .

    Замечание.

    В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...

    Определение.

    Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

    Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство .

    Следствие.

    Если G - группа простого порядка p, то - циклическая группа.

    В самом деле, пусть - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но