Жизнь и деятельность семьи Бернулли

жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.

Согласно закону Бернулли приравняем полные давления на верхней поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

где

p0 – атмосферное давление,

h – высота столба жидкости в сосуде,

v – скорость истечения жидкости.

Отсюда: . Это – формула Торричелли. Она показывает, что при истечении идеальной несжимаемой жидкости из отверстия в широком сосуде жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты h.

Для сжимаемого идеального газа

(постоянна вдоль линии тока или линии вихря)

где

 – адиабатическая постоянная газа

p – давление газа в точке

ρ – плотность газа в точке

v – скорость течения газа

g – ускорение свободного падения

h – высота относительно начала координат

При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.

Термодинамика закона Бернулли

Выведем закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.

1. Запишем Уравнение Эйлера:

 

φ – потенциал. Для силы тяжести φ=gz

2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):

 

dW = VdP + TdS

Пусть S = const и w – энтальпия единицы массы, тогда:

 или        

3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:


– проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.

4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:

Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:

– условие стационарности

– так как

Получаем:

То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:

 

 

Лемниската Бернулли

Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

·        в прямоугольных координатах:

·        в полярных координатах

·         

Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

,

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Свойства.

1.     Лемниската – кривая четвёртого порядка.

2.     Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F1F2, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY.

3.     Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

4.     Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

5.      

6.     Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

7.     Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы.

8.     Лемнискату описывает окружность радиуса, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

9.     Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

10.           Для представления в полярных координатах, верно следующее

a.                             Площадь полярного сектора , при :

b. В частности, площадь каждой петли .

c.  Радиус кривизны лемнискаты есть

Построение лемнискаты

·        с помощью трёх отрезков

Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.

На плоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC=BD=, CD=AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

·        при помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S – точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM1 и OM2, равные хорде PS. Точки M1, M2 лежат на разных петлях лемнискаты.

 

Неравенство Бернулли

Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если, то

 

Доказательство проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

, ч.т.д.

 

Примечания:

·         Неравенство справедливо также для вещественных  (при)

·         Неравенство также справедливо для  (при), но указанное выше доказательство по индукции в случае не работает.


Распределение Бернулли

Распределение Бернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.

Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и соответственно. Таким образом:

 

P (X = 1) = p

P (X = 0) = q

Принято говорить, что событие {X = 1} соответствует «успеху», а {X = 0} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

 

E[X] = p,

D[X] = pq.

Вообще, легко видеть, что

 

E[] = p .

 

Числа и многочлены Бернулли

Числа Бернулли – последовательность рациональных чисел B0, B1, B2,… найденная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:


Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула:            

Первые четырнадцать чисел Бернулли равны:

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1

0

0

0

0

0

0

Свойства

·         Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B1, равны нулю, знаки B2n чередуются.

·         Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли ,и равны: Bn = Bn(0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

·         Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

·          

,

·        

·        

·         Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2m:


Из чего следует

Bn = − nζ (1 − n) для всех n.

·        


Список литературы

1. Белл Э.Т. Творцы математики. М.: Просвещение, 1979.

2. Боголюбов А.Н. Математики. Механики. Биографический справочник. Киев: Наукова думка, 1983.

3. История математики. Под редакцией Юшкевича А.П. в трёх томах. Том 3 Математика XVIII столетия. М.: Наука, 1972.