Метризуемость топологических пространств

Определение. Множество всюду плотно в , если любое непустое открытое в множество содержит точки из .

Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства , если содержится в объединении множеств этого семейства.

Определение. Топологическое пространство называется финально компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие.

Свойство 5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:

1) сепарабельно,

2) имеет счетную базу,

3) финально компактно.

Доказательство.

Пусть - счетное всюду плотное множество в , - метрика в . Множество окрестностей счетно. Докажем, что - база топологии в . Пусть - произвольное открытое в множество, . Тогда для некоторого . Рассмотрим рациональное число , для которого и точку , для которой .

Докажем, что . Пусть . Так как , то . Тогда . Таким образом, для произвольного и открытого множества нашелся элемент из , такой, что . Следовательно - база топологии.

Пусть - счетная база в . Рассмотрим произвольное открытое покрытие множества , - открыты для любого (- индексное множество). Для любого существует , для которого . Так как - база, то найдется такое , что . Тогда . Поскольку база счетна, то покрывается счетным числом соответствующих множеств . Таким образом, - финально компактно.

Для каждой точки рассмотрим окрестности , которые образуют покрытие пространства . В силу финальной компактности из этого покрытия можно выделить счетное подпокрытие . В каждом из этих множеств выберем точку . Множество точек счетно, докажем, что оно плотно в . Пусть - произвольное открытое множество в , , тогда для некоторого . Существует элемент подпокрытия . Тогда , то есть любое непустое открытое множество в содержит точку этого множества. Что и требовалось доказать.

Определение. Диаметром непустого множества в метрическом пространстве называется точная верхняя грань множества всех расстояний между точками множества и обозначается .

Если , то множество называют неограниченным.

Определение. Метрика метрического пространства называется ограниченной, если .

Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

Доказательство. Пусть метрика порождает топологию топологического пространства . Положим для любых .

Докажем следующее:

-метрика на ;

метрики и эквивалентны;

1. Проверим выполнимость аксиом.

1) ;

2);

: Докажем, что .

Известно, что .

Если и , то и , тогда . Так как , то .

Если или , то , а , тогда .

2. Пусть - топология, порожденная метрикой , а - топология, порожденная метрикой . Докажем, что .

Пусть - открытое множество в , докажем, что множество открыто в . Для любого существует такое, что . Можно считать, что . Тогда является окрестностью в того же радиуса . Следовательно, открыто в топологии .

В обратную сторону доказательство проводится аналогично.

Из всего выше сказанного следует, что метрики и эквивалентны.

3. Из формулы следует, что для любых . Отсюда .

Определение. - топологические пространства, . Тихоновским произведением топологических пространств называется топологическое пространство , в котором базу топологии образуют множества , где открыто в для любого и для всех индексов кроме конечного их числа.