Разложение функций. Теория вероятностей

непрерывных величин.

3. Среднее квадратичное отклонение НСВ Х определяется также, как и для дискретных величин:



Примеры. №276, 279, Х, д/з.

Операционные исчисления (ОИ).

ОИ представляет собой метод, позволяющий свести операции дифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям: умножение и деление на аргумент так называемых изображений этих функций.

Использование ОИ облегчает решение многих задач. В частности, задач интегрирования ЛДУ с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений, сводя их к линейным алгебраическим.

Оригиналы и изображения. Преобразования Лапласа.

f(t)-оригинал; F(p)-изображение.

Переход f(t)F(p) называется преобразование Лапласа.

Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p), зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой:



Этот интеграл называется интеграл Лапласа. Для сходимости этого несобственного интеграла достаточно предположить, что в промежутке f(t) кусочно непрерывна и при некоторых постоянных М>0 и удовлетворяет неравенству


Функция f(t), обладающая такими свойствами, называется оригиналом, а переход от оригинала к его изображению, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа.

Непосредственное определение изображений по формуле (2) обычно затруднено и может быть существенно облегчено использованием свойств преобразования Лапласа.

Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) и g(t) соответственно. Тогда имеют место следующие свойства-соотношения:


1. С*f(t)С*F(p), С=const -свойство однородности.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) –свойство аддитивности.

3. f(t)F(p-) -теорема смещения.

4.


переход n–ой производной оригинала в изображение (теорема дифференцирования оригинала).



5. y”+py’+qy=0; f(x)=eaxPn’(x)

Теорема дифференцирования изображения


Таблица изображений основных элементарных функций. Нахождение изображений по оригиналу (переход от оригинала к изображению).



1

11/p

 5

tnn!/p(n+1)

 9

2

CC/p

 6



3

7

10

4

t1/p2

 8




Нахождение оригинала по изображению (обращение изображения - ОИ).

Отыскание оригинала по известным изображениям называется обращением изображения.

В простейших случаях эта операция выполняется с помощью таблицы и свойств преобразования Лапласа. При интегрировании дифференциальных уравнений возникает необходимость обращать правильные рациональные дроби. Всякую рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей вида:


А).A/(p-a); Б).A/(p-a)n; В).(Ap+B)/(p2+pa+b); Г). (Ap+B)/(p2+pa+b)2

25