Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона
Федеральное
агентство по
образованию
РФ
Сибирская
государственная
автомобильно-дорожная
академия (СибАДИ)
Кафедра:
«Высшая математика»
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ
РАБОТА
Тема: «Проверка
гипотезы о
законе распределения
генеральной
совокупности
X по критерию
Пирсона»
Выполнила:
студентка 23ЭУТ
Хасянова
А.Ф.
Проверил:
Матвеева С.В
Дата_______________
Оценка_____________
Омск-2010
Содержание
1. Введение.
Исходные данные
2. Вариационный
ряд
3. Интервальный
вариационный
ряд
4. Построение
гистограммы
плотности
относительных
частот. Выдвижение
гипотезы о
законе распределения
генеральной
совокупности
Х
5. Оценки
числовых
характеристик
и параметров
выдвинутого
закона
6. Теоретическая
функция плотности
рассматриваемого
закона распределения
«Построение
ее на гистограмме»
7. Проверка
критерия Пирсона
Вывод
1. Исходные
данные варианта
№20
Дана выборка
из генеральной
совокупности
случайной
величины Х.
Данные представлены
в таблице 1.
Таблица 1
| 79,02 |
79,70 |
74,68 |
20,47 |
11,70 |
44,64 |
40,75 |
8,59 |
96,42 |
6,17 |
| 91,75 |
93,29 |
77,57 |
81,25 |
76,59 |
51,84 |
6,17 |
42,79 |
80,87 |
92,81 |
| 48,04 |
14,70 |
100,64 |
69,83 |
94,56 |
70,42 |
47,93 |
47,48 |
66,79 |
42,12 |
| 20,27 |
51,36 |
62,51 |
66,86 |
87,99 |
99,29 |
5,96 |
60,38 |
62,53 |
75,50 |
| 46,55 |
83,53 |
55,65 |
59,26 |
77,05 |
101,10 |
29,93 |
102,21 |
86,11 |
45,92 |
| 90,93 |
24,30 |
9,76 |
90,25 |
36,72 |
84,96 |
20,50 |
81,99 |
56,29 |
31,75 |
| 43,61 |
68,70 |
80,47 |
100,66 |
29,98 |
48,88 |
40,37 |
67,46 |
91,46 |
59,11 |
| 90,75 |
4,64 |
36,53 |
32,39 |
6,99 |
8,41 |
30,85 |
37,30 |
64,44 |
25,60 |
| 18,00 |
84,27 |
98,88 |
36,39 |
34,64 |
49,49 |
10,53 |
50,97 |
39,40 |
3,59 |
| 100,39 |
18,57 |
9,27 |
10,89 |
65,91 |
35,62 |
75,45 |
37,86 |
89,74 |
4,57 |
Выборка
содержит 100
наблюдаемых
значений, поэтому
выборка имеет
объем n=100.
2. Построение
вариационного
ряда
Операция
расположения
значений случайной
величины по
не убыванию
называется
ранжированием.
Последовательность
элементов х(1)
≤ х(2) ≤…≤ х(k)
называется
вариационным
рядом, элементы
которого называют
вариантами.
Проранжировав
статистические
данные, получаем
вариационный
ряд (табл. 2).
Таблица 2
| 3,59 |
9,76 |
24,30 |
36,53 |
44,64 |
51,84 |
66,68 |
77,05 |
84,96 |
93,29 |
| 4,57 |
10,53 |
25,60 |
36,72 |
45,92 |
55,65 |
66,79 |
77,75 |
86,11 |
94,56 |
| 4,64 |
10,89 |
29,93 |
37,30 |
46,55 |
56,29 |
67,46 |
79,02 |
87,99 |
96,42 |
| 5,96 |
11,70 |
29,98 |
37,86 |
47,48 |
59,11 |
68,78 |
79,70 |
89,74 |
98,88 |
| 6,17 |
14,70 |
30,85 |
39,40 |
47,93 |
59,26 |
69,83 |
80,47 |
90,25 |
99,29 |
| 6,17 |
18,00 |
31,75 |
40,37 |
48,04 |
60,38 |
70,42 |
80,87 |
90,75 |
100,39 |
| 6,99 |
18,57 |
32,39 |
40,75 |
48,88 |
62,51 |
74,68 |
81,25 |
90,93 |
100,46 |
| 8,41 |
20,27 |
34,64 |
42,12 |
49,49 |
62,53 |
75,45 |
81,99 |
91,46 |
100,66 |
| 8,59 |
20,47 |
35,62 |
42,79 |
50,97 |
64,44 |
75,50 |
83,53 |
91,75 |
101,10 |
| 9,27 |
20,50 |
36,39 |
43,61 |
51,36 |
65,71 |
76,59 |
84,27 |
92,81 |
102,21 |
3. Построение
интервального
вариационного
ряда
Опытные данные
объединяем
в группы так,
чтобы в каждой
отдельной
группе значения
вариант будут
одинаковы, и
тогда можно
определить
число, показывающее,
сколько раз
встречается
соответствующая
варианта в
определенной
(соответствующей)
группе.
Численность
отдельной
группы сгруппированного
ряда опытных
данных называется
выборочной
частотой
соответствующей
варианты x(i)
и обозначается
mi; при этом
,
где n – объем
выборки.
Отношение
выборочной
частоты данной
варианты к
объему выборки
называется
относительной
выборочной
частотой и
обозначается
Pi*,
т.е.
–
число (частота)
попаданий
значений X
в i-й разряд,
n – объем
выборки.
Т.к. согласно
теореме Бернулли
имеем, что
т.е. выборочная
относительная
частота сходится
по вероятности
соответствующей
вероятности,
тогда из условия:
Интервальным
вариационным
рядом распределения
называется
упорядоченная
совокупность
частичных
интервалов
значений С.В.
с соответствующими
им частотами
или относительными
частотами.
Для построения
интервального
вариационного
ряда выполняем
следующие
действия.
Находим
размах выборки
R = xmax –
xmin. Имеем
R = 102,21-3,59=98,62 .
Определяем
длину частичного
интервала ∆
– шаг разбиения
по формуле
Стерджеса:
где n – объем
выборки, К–
число частичных
интервалов
.
,
∆=
10
Определяем
начало первого
частичного
интервала
После разбиения
на частичные
интервалы
просматриваем
ранжированную
выборку и определяем,
сколько значений
признака попало
в каждый частичный
интервал, включая
в него те значения,
которые ≥ нижней
границы и меньше
верхней границы.
Строим интервальный
вариационный
ряд (табл. 3).
Таблица 3
|
Разряды
|
mi |
|
|
 =
|
| 1 |
[3.5-13.5) |
14 |
0.14 |
0.014 |
8.5 |
| 2 |
[13.5-23.5) |
6 |
0.06 |
0.006 |
18.5 |
| 3 |
[23.5-33.5) |
7 |
0.07 |
0.007 |
28.5 |
| 4 |
[33.5-43.5) |
12 |
0.12 |
0.012 |
38.5 |
| 5 |
[43.5-53.5) |
12 |
0.12 |
0.012 |
48.5 |
| 6 |
[53.5-63.5) |
7 |
0.07 |
0.007 |
58.5 |
| 7 |
[63.5-73.5) |
8 |
0.08 |
0.008 |
68.5 |
| 8 |
[73.5-83.5) |
12 |
0.12 |
0.012 |
78.5 |
| 9 |
[83.5-93.5) |
13 |
0.13 |
0.013 |
88.5 |
| 10 |
[93.5-103.5) |
9 |
0.09 |
0.009 |
98.5 |
| Контроль |
|
 =100
|
 =1
|
|
|
Где
-плотность
относительной
частоты
-середина
частичных
интервалов
Построение
гистограммы
Гистограммой
частот называют
ступенчатую
фигуру, состоящую
из прямоугольников,
основаниями
которых служат
частичные
интервалы длины
,
а высоты равны
отношению
– плотность
частоты (или
– плотность
частности).
По данным
таблицы 4 строим
гистограмму
(рис. 1).
Гистограмма
частот является
статистическим
аналогом
дифференциальной
функции распределения
(плотности)
случайной
величины Х.
Площадь гистограммы
равна единице.
Выдвижение
гипотезы о
законе распределения
генеральной
совокупности
По данным
наблюдений
статистическое
среднее
и выборочное
среднее квадратическое
отклонение
у* по
значению почти
совпадают.
Учитывая данный
факт, а также
вид гистограммы
можно предположить,
что случайная
величина имеет
равномерное
распределение.
По виду
гистограммы
выдвигаем
гипотезу о
равномерном
законе распределения
генеральной
совокупности
Х.
Оценка
числовых
характеристик
и параметров
закона распределения
Оценками
математической
статистики
называют приближенные
значения числовых
характеристик
или параметров
законов распределения
генеральной
совокупности
Х вычисленные
на основе выборки.
Оценка называется
точечной, если
она определяется
числом или
точкой на числовой
оси.
Оценка (как
точечная, так
и интервальная)
является случайной
величиной, так
как она вычисляется
на основе
экспериментальных
данных и является
функцией выборки.
При вычислении
точечных оценок
для удобства
берут не сами
элементы выборки,
а середины
частичных
интервалов
из интервального
вариационного
ряда (табл. 1) и
применяют
формулы:
где n -
объем выборки,
–
i-й элемент
выборки
Составим
таблицу для
нахождения
и
Таблица 4
| i |
|
|
| 1 |
|
8.5*14=119 |
| 2 |
|
18.5*6=111 |
| 3 |
|
28.5*7=199.5 |
| 4 |
|
38.5*12=462 |
| 5 |
|
48.5*12=582 |
| 6 |
|
58.5*7=409.5 |
| 7 |
|
68.5*8=548 |
| 8 |
|
78.5*12=942 |
| 9 |
|
88.5*13=1150.5 |
| 10 |
|
98.5*9=886.5 |
|
|
|
6. Равномерный
закон
интервальный
вариационный
генеральный
совокупность
Выдвинута
гипотеза о
распределении
генеральной
совокупности
Х по равномерному
закону
найдем функцию
плотности
равномерного
закона
вычислив оценки
параметров
и
,
Т.к М(x)=
,
,
D(x)=
Таблица 5
| i |
|
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
| 5 |
|
| 6 |
|
| 7 |
|
| 8 |
|
| 9 |
|
| 10 |
|
|
 186
|
После того,
как найдены
значения функции
плотности для
каждого разряда,
нанесем их
прямо на гистограмму,
получая тем
самым кривую
функции плотности
Проверка
гипотезы о
законе распределения
генеральной
совокупности
по критерию
Пирсона
В качестве
меры расхождения
между статистическим
и гипотетическим
(теоретическим)
распределениями
возьмем критерий
Пирсона К = ч2.
Пирсон доказал,
что значение
статистического
критерия не
зависит от
функции
и от числа опытов
n, а зависит
от числа частичных
интервалов
интервального
вариационного
ряда. При увеличении
ч2, и находится
по формуле:
К =
или К =
Дальнейшие
вычисления,
необходимые
для определения
расчетного
значения выборочной
статистики
,
проведем в
таблице 5.
Таблица 6
| i |
|
|
|
|
|
 /
|
| 1 |
0.14 |
14 |
0.1029 |
10.29 |
|
13.76/10.37=1.33 |
| 2 |
0.06 |
6 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 3 |
0.07 |
7 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 4 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 5 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 6 |
0.07 |
7 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 7 |
0.08 |
8 |
0.1 |
10 |
|
16/10=1.6 |
| 8 |
0.12 |
12 |
0.1 |
10 |
|