Розрахунок типових задач з математичної статистики

математичної статистики" width="597" height="485" align="BOTTOM" border="0" />

Рис.4.1 Гістограма експериментального графіку функції щільності імовірності.

Аналізуємо обчислені оцінки математичного чекання та отриману гістограму.

Безперервна випадкова величина X приймає від’ємні значення. Отже, їй залишається бути розподіленою за нормальним (гаусовським) законом розподілення.

„Правило 3-х сігм” приблизно виконується (більшість значень дійсно лежить в інтервалі (-4.165276; 5.252514)). Відхилення практичної гістограми від теоретичної допоможе оцінити характеристика асиметрії та ексцес.

Таким чином, висуваємо гіпотезу H0 - випадкова величина X розподілена за нормальним законом розподілення.

Для обчислення теоретичних частот попадання випадкової величини X в коректований інтервал (з Таблиці 4.2) можна використовувати дві методики. Ми будемо застосовувати другу як більш теоретично обґрунтовану та правильнішу, а також точнішу.

Перша методика проста, але обчислення на її основі носять приблизний, оціночний характер. Перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини. Теоретично наша випадкова величина вважається розподіленою за загальним нормальним законом. Його функція щільності імовірності має в нашому випадку вигляд:

.

Перехід до центрованої нормальної величини:

.

Функція щільності імовірності для неї:

.

Таким чином

.

Імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) дорівнює

.

Дорівнює площі фігури, обмеженої графіком щільності імовірності, віссю 0X та прямими X=Xi, X=Xi+1.

Тобто можна приблизно вважати ії рівною добутку довжини інтервалу h на значення функції щільності імовірності в середині інтервалу (вищесказане є фактично двосторонньою оцінкою визначеного інтегралу):

,

де значення відповідає середині інтервалу

.

Знаючи теоретичну імовірність Pi, можна буде обчислити теоретичну кількість ni попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1).

Але це буде дуже приблизна оцінка, бо коректування інтервалів розширило межі інтервалів та збільшило різницю між значеннями функції щільності імовірності в них. Точність цього методу обчислення теоретичних частот буде зростати при зменшенні інтервалу розбиття. Проте, це не можливо без порушення правила розбиття діапазону зміни значень випадкової величини в методі Пірсона. З загальних теоретичних відомостей імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію щільності імовірності

,

або через функцію розподілення імовірності

.

Для нормованого нормального розподілення функція розподілення імовірності обчислюється через функцію Лапласа (сама функція Лапласа не є функцією розподілення імовірності):

.

Значення функції Лапласа затабульовані, або ж їх можна підрахувати за допомогою математичних пакетів прикладних програм. Хоча з досить високою точністю можна й самому підрахувати значення функції Лапласа, використавши наступну наближену формулу (підінтегральну функцію було розкладено в ряд та взято інтеграл):

.

Функція розподілення імовірності нормального розподілення пов’язана з функцією Лапласа наступним співвідношенням:

, якщо X>0,, якщо X<0.

Знову перейдемо в обчисленнях від загальної до центрованої нормальної величини:

.

Це зафіксовано у п’ятій строчці Таблиці 4.2. Тоді імовірність попадання випадкової величини X в інтервал (Xi; Xi+1) можна виразити через функцію Лапласа так:

,

де значення - нормована нормальна випадкова величина, що відповідає Xi (результат занесено в шосту строчку Таблиці 4.2). Знаючи теоретичну імовірність Pi0, можна буде обчислити теоретичну кількість ni0 попадань випадкової величини X в і-й інтервал (Xi; Xi+1) з Таблиці 4.2 (і результат занесено у відповідну сьому строчку Таблиці 4.2).

Таблиця 4.1 Інтервали розбиття

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
(-5; - 4)	(-4; - 3)	(-3; - 2)	(-2; - 1)	(-1; 0)	(0; 1)	(1; 2)	(2; 3)	(3; 4)	(4; 5)	(5; 6)
1	2	1	14	18	22	25	15	1	0	1
0.01	0.02	0.01	0.14	0.18	0.22	0.25	0.15	0.01	0	0.01

Таблиця 4.2 Розраховані імовірності

I	1	2	3	4	5
(Xi; Xi+1)	(-5; - 1)	(-1; 0)	(0; 1)	(1; 2)	(2; 6)
ni	18	18	22	25	17
	0.18	0.18	0.22	0.25	0.17
(ui; ui+1)	(2.8395; 0.2969)	(0.2969; 0)	(0; 0.2969)	(0.2969; 0.9322)	(0.9322; 3.4752)
Pi0	0.3798	0.1179	0.1179	0.2059	0.1760
ni0	38	12	12	21	18

Обчислили значення критерію збіжності Пірсона. В нашому випадку він дорівнюватиме:

.

Робимо висновок про збіжність закону розподілення практичних даних та закону розподілення, що відповідає висунутій гіпотезі H0.

Кількість ступенів свободи k = s - 1 - r, де s=5 - число інтервалів розбиття діапазону значень випадкової величини X, r=2 - число параметрів розподілення, що були оцінені за даними вибірки і використовувалися при підрахункові теоретичних ймовірностей (для нормального розподілення це математичне чекання та середньоквадратичне відхилення), дорівнює k = 5 - 3 =2.

За таблицею розподілення з k ступенями свободи знаходимо при α=0.001 (більш точні дані відсутні). Тобто практичні дані узгоджуються з гіпотезою H0 з імовірністю більш ніж 0.999.

Висока імовірність узгодженості практичних даних з теоретичними дає підставу перевірити та оцінити потужність критерію (імовірність прийняття альтернативних гіпотез).

Висновки

У виконаній курсовій роботі наведено огляд теоретичних відомостей з курсу Теорії ймовірностей та математичної статистики, визначено алгоритм виконання типових завдань з Теорії ймовірностей. І також виконано розрахунок типової задачі з визначення законів розподілення випадкових величин.

Список літератури

В.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1988.

В.П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М. - Наука, 1982.

А.А. Боровков. Теория вероятностей.М. - Наука, 1988.

Б.А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики.М. - Наука, 1982.

Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А.А. Свешникова).

И.Н. Коваленко, А.А. Филлипов. Теория вероятностей и математическая статистика. М. - Высшая школа, 1988.

Е.С. Вентцель. Теория вероятностей. М. - Наука, 1969.

И.И. Гихман, А.В. Скороход, М.И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев - Высшая школа, 1979.

И.И. Гихман, А.В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов.М. - Наука, 1969.

А.Т. Гаврилин, О.Н. Репин, И.П. Смирнов. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький, ГГУ, 1983.

Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. - Высшая школа, 1994.

Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.

Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.

Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 2001.

Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, Т.2, 1984.