Статистическая обработка результатов прямых многоразовых измерений с независимыми равноточными наблюдениями

Розрахунково-графічне завдання

з теми:

«Статистична обробка результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»


Виконала:

Студентка групиАП-48б

Арсентьєва К.Г.


Харків 2010


Исходные данные


Экспериментально получены результаты серии наблюдений напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.


Задание


По результатам многократных наблюдений определить наиболее достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные границы.


Таблица 1

U(1)=170.02 U(17)=170.20
U(2)=170.41 U(18)=170.30
U(3)=169.95 U(19)=169.59
U(4)=170.17 U(20)=169.95
U(5)=169.95 U(21)=169.77
U(6)=170.01 U(22)=169.84
U(7)=170.26 U(23)=169.95
U(8)=190.23 U(24)=159.84
U(9)=169.84 U(25)=170.33
U(10)=169.73 U(26)=169.73
U(11)=169.74 U(27)=169.91
U(12)=170.21 U(28)=170.35
U(13)=169.76 U(29)=170.20
U(14)=169.67 U(30)=169.88
U(15)=169.83 U(31)=169.60
U(16)=170.35 U(32)=170.50

Доверительная вероятность: P= 0, 99

Доверительные границы:

Разрядность: 5 разрядов*

Количество наблюдений: n = 32


Обработка результатов измерений


Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.

При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и U(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.


Таблица 2

U(1)=170.02 U(16)=170.20
U(2)=170.41 U(17)=170.30
U(3)=169.95 U(18)=169.59
U(4)=170.17 U(19)=169.95
U(5)=169.95 U(20)=169.77
U(6)=170.01 U(21)=169.84
U(7)=170.26 U(22)=169.95
U(8)=169.84 U(23)=170.33
U(9)=169.73 U(24)=169.73
U(10)=169.74 U(25)=169.91
U(11)=170.21 U(26)=170.35
U(12)=169.76 U(27)=170.20
U(13)=169.67 U(28)=169.88
U(14)=169.83 U(29)=169.60
U(15)=170.35 U(30)=170.50

Проверим соответствие экспериментального закона распределения нормальному закону.

Для этого используем составной критерий согласия. Он включает в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев (критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности распределения результатов наблюдений отвергается.

Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый соотношением:


(1),


где (В) – среднее арифметическое результатов наблюдений Ui , ;


(В) – смещённая оценка СКО результатов наблюдений Ui, .

Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:


Таблица 3

i

1. 0.02 0.0004 0.02
2. 0.41 0.1681 0.41
3. -0.05 0.0025 0.05
4. 0.17 0.0289 0.17
5. -0.05 0.0025 0.05
6. 0.01 0.0001 0.01
7. 0.26 0.0676 0.26
8. -0.16 0.0256 0.16
9. -0.27 0.0729 0.27
10. -0.26 0.0676 0.26
11. 0.21 0.0441 0.21
12. -0.24 0.0576 0.24
13. -0.33 0.1089 0.33
14. -0.17 0.0289 0.17
15. 0.35 0.1225 0.35
16. 0.20 0.04 0.20
17. 0.30 0.09 0.30
18. -0.41 0.1681 0.41
19. -0.05 0.0025 0.05
20. -0.23 0.0529 0.23
21. -0.16 0.0256 0.16
22. -0.05 0.0025 0.05
23. 0.33 0.1089 0.33
24. -0.27 0.0729 0.27
25. -0.09 0.0081 0.09
26. 0.35 0.1225 0.35
27. 0.20 0.04 0.20
28. -0.12 0.0144 0.12
29. -0.4 0.16 0.4
30. 0.5 0.25 0.5


Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):

Результаты наблюдений Ui считаются распределёнными по нормальному закону, если выполняется следующее условие


,


где , - квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для критерия I уровню значимости α1. Выберем α1 и α2 из условия α≤α1+α2, где α=1-Р=1-0,99=0,01.

α1=0,02 и α2=0,01.

Для n=15,р=0,95, α=0,02

a)Для n=30,P=0.99 .


26

 0.8901
30 У
31 0.8827

Проведём интерполяцию:

Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842

Для n=30,P=0.99


26

 0.7040
30 У
31 0.7110

Проведём интерполяцию:

Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096


0,7096<0,8643<0,8842

Распределение результатов наблюдений соответствует критерию I.

По критерию II, распределение результатов наблюдений соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение


,


где (В) – несмещенная оценка СКО результатов наблюдений Ui;

- верхняя квантиль распределения интегральной функции нормированного нормального распределения, соответствующая доверительной вероятности Р2. Значение m и Р2 находим по числу наблюдений n и уровню значимости α2 для критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р2=0,99. Затем вычисляем:



По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного нормального распределения находят , соответствующее вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;


=2,82*0,2597=0,7323 (В).

Ни одно значение не превосходит величину , следовательно распределение результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный закон распределения соответствует нормальному закону.

Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений (оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:

а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений, расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их перенумерацию:


Таблица 4

U(1)=169.59 U(16)=169.95
U(2)=169.60 U(17)=169.95
U(3)=169.67 U(18)=170.01
U(4)=169.73 U(19)=170.02
U(5)=169.73 U(20)=170.17
U(6)=169.74 U(21)=170.20
U(7)=169.76 U(22)=170.20
U(8)=169.77 U(23)=170.21
U(9)=169.83 U(24)=170.26
U(10)=169.84 U(25)=170.30
U(11)=169.84 U(26)=170.33
U(12)=169.88 U(27)=170.35
U(13)=169.91 U(28)=170.35
U(14)=169.95 U(29)=170.41
U(15)=169.95 U(30)=170.50

б) Для крайних членов упорядоченного ряда U1 и U15, которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем параметр:


в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.

Так как ti< tT, поэтому грубых результатов нет.

Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в соответствии с выражением:


(В).


Определим доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по формуле: , где Z– коэффициент по заданной доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58


(В).


Определим доверительные границы суммарной не исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений с многократными наблюдениями:


(В).


Определим доверительные границы суммарной (полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.

Так как , тогда


В.


Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:

U= (170,000±0,151) В; Р=0,99