Экономико-математический практикум

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Менеджмент организаций »


К О Н Т Р О Л Ь Н А Я Р А Б О Т А

По предмету: Экономико-математический практикум


Выполнил:

Студент 2 курса

4 семестр

Рахимова Лидия Рустамовна


Ташкент,2009

Задача № 1


Условно стандартная задача линейного программирования

Необходимо выполнить в указанном порядке следующие задания.

1. Найти оптимальный план прямой задачи:

а) графическим методом;

б) симплекс-методом (для построения исходного опорного плана рекомендуется использовать метод искусственного базиса).

2. Построить двойственную задачу.

3. Найти оптимальный план двойственной задачи из графического решения прямой, используя условия дополняющей нежесткости.

4. Найти оптимальный план двойственной задачи по первой теореме двойственности, используя окончательную симплекс-таблицу, полученную при решении прямой задачи (см. п. 1б). Проверить утверждение «значения целевых функций пары двойственных задач на своих оптимальных решениях совпадают».

5. Двойственную задачу решить симплекс-методом, затем, используя окончательную симплекс-таблицу двойственной задачи найти оптимальный план прямой задачи по первой теореме двойственности. Сравнить результат с результатом, который был получен графическим методом (см. п. 1а).

6. Найти оптимальное целочисленное решение:

а) графическим методом;

б) Методом Гомори.

Сравнить значения функций целочисленного и нецелочисленного решений

4

Решение задачи 1

1. Найдем оптимальный план решения графическим методом:


;


Построим на координатной плоскости Ох1х2 граничные прямые области допустимых решений (номера прямых соответствуют их порядковому номеру в системе):



Область допустимых решений определяется многоугольником ОАВСD (см. график 1).

Для линий уровня х1 - 3х2 = h (h — const) строим нормальный вектор . Перпендикулярно нормальному вектору построим одну из линий уровня (на рис. 1 она проходит через начало координат) Так как задача на минимум, то перемещаем линию уровня в направлении вектора до опорной прямой. В данном случае опорной прямой является прямая, проходящая через точку пересечения граничных прямых L3 и L4, т. е. через точку . Для определения координат точки P решаем систему уравнений

.


Получаем х1 = 5,3, х2 = 0,6. Это и будет оптимальным решением данной задачи, которому соответствует минимальное значение целевой функции Zmin=3,5
























График № 1

1б) Перейдем к расширенной задаче:



Данная расширенная задача имеет начальное опорное решение с базисом . Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и значение целевой функции на опорном решении:



Расчеты проведем в таблице (Табл. 1)


Таблица 1


1 -3 0 0 0 0 M

Б

 Сб В А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7

А3 0 9 -2 3 1 0 0 0 0

А4 0 53 5 2 0 1 0 0 0

А5 0 17 4 -7 0 0 1 0 0
← А7 М 37 6 8 0 0 0 1 1

0 –1 3 0 0 0 0 0

37 6 8 0 0 0 0 0

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на минимум имеются положительные оценки. Выбираем номер вектора Аk, вводимого в базис опорного решения, и вектора Аl, выводимого из базиса. Наибольшая положительная оценка соответствует А2, за разрешающий элемент выбираем коэффициент 8 и выполняем преобразование Жордана.

Вектор А2 выводимый из базиса, исключаем из рассмотрения (вычеркиваем). Получаем второе опорное решение с базисом (табл. 1.3). Целевая функция =-3М -21. Это решение не является оптимальным, так как есть положительная оценка.


Таблица 1

Б

 Сб B А1 А2 А3 А4 А5 А6 
А2 -3 3,0 -0,7 1,0 0,3 0,0 0,0 0,0 0,0
А4 0 47,0 6,3 0,0 -0,7 1,0 0,0 0,0 0,0
А5 0 38,0 -0,7 0,0 2,3 0,0 1,0 0,0 0,0
a7 М 13,0 11,3 0,0 -2,7 0,0 0,0 1,0 1,0
M+1 -9,0 1,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
M+2 13,0 11,3 0,0 -2,7 0,0 0,0 0,0 0,0
A2 -3 -2,4 -0,6 1,0 0,0 0,0 -0,1 0,0 0,0
a4 0 57,9 6,1 0,0 0,0 1,0 0,3 0,0 0,0
А3 0 16,3 -0,3 0,0 1,0 0,0 0,4 0,0 0,0
A7 М 56,4 10,6 0,0 0,0 0,0 1,1 1,0 1,0
M+1 7,3 0,7 0,0 0,0 0,0 0,4 0,0 0,0
M+2 56,4 10,6 0,0 0,0 0,0 1,1 0,0 0,0
A2 -3 0,6 0,0 1,0 0,0 0,0 -0,1 0,1 0,1
a4 0 25,1 0,0 0,0 0,0 1,0 -0,4 -0,6 -0,6
А5 0 17,8 0,0 0,0 1,0 0,0 0,5 0,0 0,0
A1 1 5,3 1,0 0,0 0,0 0,0 0,1 0,1 0,1


3,5 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 -0,1 -0,1


0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 -1,0

Целевая функция после второй итерации равна = 3,5. Все оценки отрицательные, план оптимален.



Оптимальный план исходной задачи Х*=(х1*=5,3; х2*=0,6). Минимальное значение целевой функции исходной задачи =3,5.


Ответ: min Z(X*) =3,5.


2. Двойственная задача


Двойственная задача имеет вид.



при условиях



3. Прямая задача имеет оптимальное решение, вычислим оптимальное решение двойственной задачи, используя условия дополняющей нежесткости



Откуда следует:



4. Оптимальный план двойственной задачи найдем, используя окончательную симплекс-таблицу прямой задачи (Табл.1)



Максимальное значение функции двойственной задачи совпадает с минимальным значением функции прямой задачи, что подтверждает первую теорему двойственности.

Проанализируем решение задачи, используя условия дополняющей нежесткости (вторую теорему двойственности). Подставляем координаты оптимального решения двойственной задачи Y* = (0;0;-0,35;-0,068), в систему ограничений.



Ответ: Z(X) =3,5 при Х* = (0;0;-0,35;-0,068).


Задача № 2


Каноническая задача

В каждом варианте приведены таблицы, в которых записаны условия канонической задачи линейного программирования на минимум, т. е.



В первой строке помещены коэффициенты целевой функции. В остальных строках, в первых пяти столбцах, находятся векторы условий, а в последнем столбце записан вектор ограничений. В правом верхнем углу таблицы указана цель задачи.

Необходимо последовательно выполнить следующие задания.

Задачу решить графическим методом.

Применяя симплекс-метод, решить задачу, т.е. найти ее оптимальный план и минимальное значение целевой функции или установить, что задача не имеет решения. Начальный план рекомендуется искать методом искусственного базиса.

Построить двойственную задачу. Если вектор найден, вычислить оптимальный план двойственной задачи, используя первую теорему двойственности . Вычислить максимальное значение функции .

Провести анализ полученного решения, применяя условия дополняющей нежесткости.


Если , то .

Если , то .



 14



1 -5 6 8 -2 min
11 7 1 12 5 16
14 10 0 3 8 17
13 2 9 4 6 15

Решение задачи 2

Представим исходные данные задачи в виде:



Проверяем, применим ли графический метод при решении данной задачи.



линейно независимы, так как их координаты непропорциональны. Поэтому ранг системы векторов-условий r = 3. Находим n - r =5 - 3 = 2 Ј 2. Следовательно, метод применим.

Приведём систему уравнений-ограничений к равносильной, разрешённой методом Жордана–Гаусса. Преобразуем систему уравнений методом Жордана-Гаусса до получения общего решения (табл. 2.1).


Таблица 2.1.

№ итерац.

x1

x2

x3

x4

x5

bi

(1)

 11 7 1 12 5 16

14 10 0 3 8 17

13 2 9 4 6 15

(2)

-45,00

-33,00

1,00

0,00

-27,00

-52,00

4,67

3,33

0,00

1,00

2,67

5,67

-5,67

-11,33

9,00

0,00

-4,67

-7,67

(3)

2,25

0,75

1,00

10,13

0,00

5,38

1,75

1,25

0,00

0,38

1,00

2,13

2,50

-5,50

9,00

1,75

0,00

2,25

(4)

-12,21

32,57

-51,07

0,00

0,00

-7,64

1,21

2,43

-1,93

0,00

1,00

1,64

1,43

-3,14

5,14

1,00

0,00

1,29

(5)

0,24

-0,64

1,00

0,00

0,00

0,15

1,68

1,20

0,00

0,00

1,00

1,93

0,20

0,14

0,00

1,00

0,00

0,52

Общее решение системы уравнений имеет вид



Учитывая, что все переменные неотрицательны, перейдем от уравнений к неравенствам из общего решения системы.


откуда получим систему неравенств с двумя переменными



Целевую функцию выразим через свободные переменные



Окончательно получим стандартную задачу линейного программирования с двумя переменными



Строим область допустимых решений (график 2). Любая точка многоугольника удовлетворяет системе неравенств. Вершина является точкой входа семейства прямых в область решений, следовательно, в этой точке она принимает минимальное значение.

В свою очередь, =(1,32;0,12).

Решая систему уравнений получаем х1 =2,2, х2 =0,6. Это и будет оптимальным решением данной задачи, которому соответствует минимальное значение целевой функции Zmin


.











A

А





(3)


график 2

2.Решим симплекс-методом задачу линейного программирования, используя метод искусственного базиса



Составим расширенную задачу. В левые части уравнений системы ограничений вводим неотрицательные искусственные переменные с коэффициентом +1. Удобно справа от уравнений записать вводимые искусственные переменные. В первое уравнение вводим переменную х6, во второе — переменную х7, в третье – х8. Данная задача — задача на нахождение минимума. Получаем



Данная расширенная задача имеет начальное опорное решение с базисом . Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и значение целевой функции на опорном решении:


Записываем исходные и расчетные данные в симплексную таблицу (табл.2.2).


Таблица 2.2


1 -5 6 8 -2 М M M

Б

 Сб А0 А1 А2 А3 А4 А5 А6 A7 A8

А6 М 16 11 7 1 12 5 1 0 0

A7 M 17 14 10 0 3 8 0 1 0
← А8 М 15 13 2 9 4 6 0 0 1

0 -1 5 -6 -8 2 0 0 0

48 28 19 10 19 19 0 0 0

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на минимум имеются положительные оценки. Выбираем номер вектора Аk, вводимого в базис опорного решения, и вектора Аl, выводимого из базиса. В столбце «А3» (см. табл. 2.1) за разрешающий элемент выбираем коэффициент 9 в третьей строке и выполняем преобразование Жордана.

Вектор А3 выводимый из базиса, исключаем из рассмотрения (вычеркиваем). Получаем первое опорное решение с базисом (табл. 2.3). Целевая функция =31,33М -10. Это решение не является оптимальным, так как имеются положительные оценки.

Таблица 2.3


1 -5 6 8 -2 М M M

Б

 Сб А0 А1 А2 А3 А4 А5 А6 A7 A8

А6 М 14,33 9,56 6,78 0,00 11,56 4,33 1,00 0,00 -0,11

A7 M 17,00 14,00 10,00 0,00 3,00 8,00 0,00 1,00 0,00
← А3 6 1,67 1,44 0,22 1,00 0,44 0,67 0,00 0,00 0,11

10,00 -7,67 -6,33 0,00 5,33 -6,00 0,00 0,00 -0,67


31,33 13,56 16,78 0,00 14,56 12,33 0,00 0,00 -1,11

Вводим