Эконометрика
Контрольная
работа
По эконометрики
Обзор корреляционного
поля
Эти данные
скорее всего
можно аппроксимировать
при помощи
линейной регрессии
вида ŷ = а - b·x,
как самой простой.
Рассчитаем
необходимые
суммы и запишем
их в таблице
№ 1:
Таблица №1:
|
i
|
x
|
y
|
xІ
|
yІ
|
x·y
|
ŷ
|
e
|
eІ
|
A(%)
|
| 1 |
2,5 |
69 |
6,25 |
4761 |
172,5 |
66,40 |
2,60 |
6,75 |
3,76 |
| 2 |
3 |
65 |
9 |
4225 |
195 |
64,85 |
0,15 |
0,02 |
0,23 |
| 3 |
3,4 |
63 |
11,56 |
3969 |
214,2 |
63,61 |
-0,61 |
0,37 |
0,97 |
| 4 |
4,1 |
59 |
16,81 |
3481 |
241,9 |
61,44 |
-2,44 |
5,94 |
4,13 |
| 5 |
5 |
57 |
25 |
3249 |
285 |
58,65 |
-1,65 |
2,71 |
2,89 |
| 6 |
6,3 |
55 |
39,69 |
3025 |
346,5 |
54,61 |
0,39 |
0,15 |
0,70 |
| 7 |
7 |
54 |
49 |
2916 |
378 |
52,44 |
1,56 |
2,43 |
2,89 |
|
Сумма:
|
31,3 |
422 |
157,31 |
25626 |
1833,1 |
422,00 |
0,00 |
18,38 |
15,57 |
|
Среднее:
|
4,471 |
60,286 |
22,473 |
3660,857 |
261,871 |
- |
- |
- |
2,22% |
Ковариация
между y
и x рассчитывается
по формуле
,
где
,
,
.
Дисперсия и
среднее квадратическое
отклонение
для x и y
находим по
формулам:
=
2,479,
=
26,490,
1,575,
5,147.
= -7,692 / 2,479 = -3,103;
=
60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159
Получили
уравнение
регрессии: ŷ
= 74,159 - 3,103·х (округлено
до сотых).
Оцениваем
качество полученной
линейной модели:
а) TSS = 25624
- (31,3І) : 7 = 185,492; RSS =
TSS - ESS =
185,429 - 18,38 = 176,051, где ESS
=
=
18,38 (в таблице №1);
F - статистика
= RSS · (n
- m - 1) : ESS =
176,051 · ·5 :18,38 = 45,45.
Табличное
значение на
1% уровне значимости
равно 16,26 (см. таблицу
распределения
Фишера - Снедекора).
Фактическое
значение F
- статистики
больше табличного
на 1% уровне
значимости,
следовательно
уравнение
регрессии в
целом значимо
и на 5% уровне
значимости.
б) Средняя
ошибка аппроксимации
равна (ΣА)/7
= ((ΣIy-ŷI:
y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = =2,22%,
что говорит
о хорошей
аппроксимации
зависимости
моделью (2,22% < 6%).
Вывод: модель
получилась
приемлемая
(в смысле аппроксимации).
в) Коэффициент
корреляции
находим по
формуле:
=
-0,949: сильная обратная
линейная зависимость.
г) Коэффициент
детерминации
находим следующим
образом:
= 0,901 или вариация
x определяет
вариацию y
на 90,1%.
Проверка
на соответствие
условиям теоремы
Гаусса - Маркова
а) По таблице
№2 рассчитаем
статистику
Дарбина - Уотсона:
Таблица №2
| i |
eІ |
e |
ei-1 |
(ei-ei-1)І |
 =16,050
: 18,38 = 0,8734.
|
| 1 |
6,75 |
2,60 |
- |
- |
|
| 2 |
0,02 |
0,15 |
2,598 |
5,996 |
|
| 3 |
0,37 |
-0,61 |
0,149 |
0,576 |
|
| 4 |
5,94 |
-2,44 |
-0,610 |
3,342 |
|
| 5 |
2,71 |
-1,65 |
-2,438 |
0,628 |
|
| 6 |
0,15 |
0,39 |
-1,646 |
4,134 |
|
| 7 |
2,43 |
1,56 |
0,388 |
1,373 |
|
| Итого: |
18,38 |
- |
-1,559 |
16,050 |
|
Полученное
значение попадает
в область
неопределённости:
DW
(0,7;
1,35). Это значит,
что для прояснения
вопроса относительно
автокорреляции
остатков необходимо
дальнейшее
исследование
ряда остатков
другими методами,
в которых отсутствует
зона неопределённости.
б) Воспользуемся
тестом серий
Бройша - Годфри:
Таблица №3
| t |
et |
et-1 |
eІt-1 |
et·et-1 |
кt |
(y-bx)І |
| 1 |
2,598 |
0,149 |
0,022 |
0,387 |
0,074 |
6,371 |
| 2 |
0,149 |
-0,610 |
0,372 |
-0,091 |
-0,302 |
0,204 |
| 3 |
-0,610 |
-2,438 |
5,944 |
1,487 |
-1,208 |
0,358 |
| 4 |
-2,438 |
-1,646 |
2,709 |
4,013 |
-0,816 |
2,632 |
| 5 |
-1,646 |
0,388 |
0,151 |
-0,639 |
0,192 |
3,379 |
| 6 |
0,388 |
1,559 |
2,430 |
0,605 |
0,773 |
0,148 |
| Итого: |
-1,559
|
-2,598
|
11,628
|
5,763
|
-1,287 |
13,092 |
На основании
полученных
данных построим
уравнение
регрессии без
свободного
члена вида
ŷ=b·x. При
этом стандартная
ошибка коэффициента
регрессии b,
рассчитанная
по формуле:
,
,
=
1,181,
что меньше
значения t
табл. =2,57.
Это означает,
что автокорреляция
первого уровня
отсутствует.
Однако следует
отметить, что
и тест Дарбина
- Уотсона и тест
серий Бройша
- Годфри применяются
только для
выборок достаточно
большого размера1,
в то время как
предложенная
нам для анализа
выборка состоит
только лишь
из семи значений.
в) При помощи
критерия
серий проверим
случайность
распределения
уровней ряда
остатков. С 95%
вероятностью
распределение
ряда остатков
считается
случайным, если
одновременно
выполняются
два неравенства:
1)
общее число
серий должно
быть больше
двух, и 2)
- максимальная
длина серии
должна быть
строго меньше
пяти.
Данные для
расчётов получаем
из таблицы №
4.
Таблица №
4. Критерий серий
линейная модель
не проходит:
| ei |
ei
- ei-1 |
серии |
Число
серий = 2, Продолжительность
самой длинной
серии
равна
3.
2
=
 =
[2.079] = 2. (не выполняется),
хотя
3 < 5. Значит уровни
распределены
не случайно.
|
| 0,149 |
-2,449 |
+ |
|
| -0,610 |
-0,759 |
+ |
|
| -2,438 |
-1,828 |
+ |
|
| -1,646 |
0,792 |
- |
|
| 0,388 |
2,033 |
- |
|
| 1,559 |
1,172 |
- |
|
г) Соответствие
ряда остатков
нормальному
закону распределения
проверяем,
используем
RS-критерий:
=
2,63, где
.
Значение
нашего RS-критерия
для 7 наблюдений
практически
попадает в
интервал [2,67 3,69],
(для 10 наблюдений)
хотя и этот
критерий определён
для выборок
более 10 единиц.
д) При помощи
теста ранговой
корреляции
Спирмена определяем
отсутствие
или наличие
гетероскедастичности.
Таблица №
5.
| Ранг
Х |
Х |
I
ei
I |
Ранг
еi |
Di |
DІi |
Коэффициент
ранговой кореляции
определяется
по формуле:
|
| 1 |
2,5 |
2,60 |
7 |
-6 |
36 |
|
| 2 |
3 |
0,15 |
4 |
-2 |
4 |
|
| 3 |
3,4 |
0,61 |
3 |
0 |
0 |
|
| 4 |
4,1 |
2,44 |
1 |
3 |
9 |
|
| 5 |
5 |
1,65 |
2 |
3 |
9 |
|
| 6 |
6,3 |
0,39 |
5 |
1 |
1 |
|
| 7 |
7 |
1,56 |
6 |
1 |
1 |
|
Так как абсолютное
значение статистики
коэффициента
ранговой корелляции
=0,175
оказалась
значительно
меньше табличного
значения
,
то гетероскедастичность
отсутствует.
Вывод: линейная
модель не
соответствует
всем предпосылкам
регрессионного
анализа (условиям
теоремы Гаусса-Маркова)
и, хотя она пригодна
для прогнозирования,
но возникает
вопрос о её
значимости.
Доверительные
интервалы для
параметра b
регрессии
Стандартные
ошибки для
параметров
регрессии
находим по
формулам:
=
0,46,
=
2,18.
Проверим
на статистическую
значимость
коэффициент
b модели,
для чего рассчитаем
t-статистику
по формуле
.
Полученная
t-статистика
равна -6,742, что по
модулю больше
табличного
значения t
= 2,57. Экономически
этот параметр
интерпретируется
так: при изменении
дохода потребителей
на одну единицу
объёмы продаж
изменятся на
-3,103 ед.
Проверим
на статистическую
значимость
коэффициент
a модели,
для чего рассчитаем
t-статистику
по формуле
.
Полученная
t-статистика
равна 33,992, что
больше табличного
значения t
= 2,57. Доверительный
интервал параметра
b определяем
по формуле:
;
s =
=
1,917,
Доверительный
интервал параметра
b составляет
;
или
(
tтабл.
= 2.57, Δ = 2,57
· 0,4602 = 1,1827).
Проведённый
анализ коэффициентов
регрессии
говорит о том,
что параметры
регрессии
значимы, кроме
того и уравнение
регрессии в
целом значимо
на 1% уровне
значимости
(cм. выше).
Это позволяет
использовать
построенную
нами модель
для получения
прогнозов.
Точечный
и интервальный
прогнозы
Вначале
находим точечный
прогноз для
значения х,
на 25% превышающего
среднее значение
= 4,47 ( т.е. при
= 5,589),
.
Тогда стандартная
ошибка прогноза
составит:
,
tтабл.
= 2.57, Δ = 2,57 ·
2,18 = 5,604.
Интервальный
прогноз для
точечного
прогноза при
= 5,589 ()
составит:
или
.
1
Кристофер
Доугерти. Введение
в эконометрику.
М.: Инфра М, 2001. С.
238.