Квантовый эффект Холла в двумерных системах

Х. М. Биккин, А. В. Кузнецов

Введение

За последние десять с небольшим лет Нобелевская премия по физике дважды присуждалась за исследование квантового эффекта Холла. Первый раз это была премия, присужденная профессору Марбургского университета (Германия, Гессен) Клаусу фон Клитцингу в 1985 году за открытие квантового эффекта Холла, и второй раз премией были удостоены в 1998 году профессор Стенфордского университета Роберт Лафлин (за интерпретацию дробного квантового эффект Холлла), профессор Колумбийского университета Хорсту Штермеру и профессор Принстонского университета Даниель Цуи (за открытие и основополагающие работы по дробному квантовому эффекту Холла). Интересно отметить, что открытие квантового эффекта Холла и дробного квантового эффекта Холла состоялось почти одновременно и все основные результаты были опубликованы за весьма короткий период с 1980 по 1983 г, однако потребовалось еще несколько лет для признания всей важности квантового эффекта Холла и больше 15 лет для того, чтобы разобраться в физической сущности дробного квантового эффекта Холла.

Двумерный металл

Попробуем разобраться в сущности квантового эффекта Холла в двумерных системах. Для этого сначала поговорим о том, как можно изготовить двумерную металлическую пленку. Подходящим объектом была бы металлическая фольга толщиной несколько десятков ангстрем, однако совершенно неясно, как такой тонкий металлический образец можно изготовить. Тем не менее, двумерные металлические системы исследуются уже более 20 лет. Оказалось, что они достаточно легко воспроизводятся в полупроводниковом приборе, который называется полевым транзистором. На рисунке показано принципиальное устройство полевого транзистора.

Принципиальная схема устройства полевого транзистора

Иногда его называют также МОП-транзистором (транзистор со структурой металл-окисел-полупроводник). На кремниевую пластину, имеющую дырочную проводимость, наносится слой окисла SiO2 (поверхность окисляют). С двух сторон вжигаются электроды, которые называются истоком и стоком. Поверх окисла напыляется слой металла и приваривается электрод. Эта часть устройства называется затвором.

Если теперь на затвор подать положительный потенциал, то дырки, находящиеся в полупроводниковой пластине, будут уходить как можно дальше от затвора, а электроны, (которых мало в дырочном материале), будут наоборот подтягиваться к диэлектрическому слою, создавая между истоком и стоком проводящий электронный канал.

Этот канал и представляет собой двумерный металл. Концентрация электронов в двумерном слое определяется напряжением на затворе и практически не зависит от температуры. Это и позволяет говорить о двумерном металле, а не о двумерном полупроводнике, поскольку независимость концентрации электронов проводимости от температуры является характерным признаком металла.

Двумерный электронный газ в магнитном поле

Исследование полупроводников и Нобелевская премия по физике кажутся несовместимыми, поскольку обычно считается, что такая сложная система, какой является полупроводниковый транзистор, мало пригодна для фундаментальных открытий. До 1980 года никто и не ожидал, что в полупроводниках возможен такой эффект, который определяется исключительно фундаментальными константами и совершенно не зависит от температуры и способа изготовления образца.

Открытию квантового эффекта Холла предшествовало обнаружение другого интересного эффекта - исчезновения сопротивления двумерного металла в сильном магнитном поле.

Как известно, классический электрон в магнитном поле движется по круговой орбите, радиус r которой определяется из уравнения динамики Ньютона

mv2

= evB

простым соотношением r = mv/(eB), где m, e - масса и заряд электрона, v - его скорость, B - модуль вектора индукции магнитного поля.

Найдем еще циклическую частоту W = 2pn обращения электрона по круговой орбите в магнитном поле. В этой формуле n = 1/T - частота обращения электрона, а T = 2pr/v - период обращения электрона по круговой орбите. Если использовать формулу для радиуса орбиты электрона в магнитном поле, которую, мы получили выше, то получается замечательный результат: W = eB/m.

В классической механике энергия электрона в магнитном поле может быть любой и определяется только значением скорости v.

Рассмотрим теперь к каким результатам приводит квантово-механическое рассмотрение задачи о движении электрона в магнитном поле. Оказывается, в этом случае некоторые результаты классической механики остаются справедливыми, а некоторые существенно изменяются.

Хорошо известно, что вращательное движение в плоскости может быть получено суперпозицией двух колебаний, происходящих в двух взаимно перпендикулярных направлениях. По этой причине не кажется удивительным, что энергия электрона в сильном магнитном поле определяется выражением

Ek = (h/2p )W

, k = 0,1,2,..., (1)

которое описывает энергию квантового гармонического осциллятора с характерной частотой колебания W, совпадающей с классической циклической частотой обращения электрона в магнитном поле, которую мы вычислили ранее.

В квантовом случае сохраняется, в принципе, и другой результат классической механики: каждый электрон локализован в пространстве и занимает некоторую площадь двумерного канала. Характерным размером, определяющим область, внутри которой находится электрон, является теперь не классический радиус орбиты электрона r, а так называемая магнитная длина

l =

(h/2p)

1/2

Площадь, занимаемая электроном, при этом равна просто pl2.

Таким образом, в квантовом случае энергия электронов пробегает дискретный ряд значений (квантуется) и электроны занимают эквидистантные (расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга) энергетические уровни. Эти уровни называются уровнями Ландау. Число электронов, которое может разместиться на каждом уровне Ландау, может быть легко подсчитано из простых соображений. Дело в том, что электроны являются Ферми-частицами и поэтому два электрона, находящихся на одном уровне энергии и имеющие одинаковый спин, не могут располагаться в одном и том же месте в плоскости канала. В противном случае будет нарушено незыблемое для Ферми-частиц правило (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном состоянии механического движения.

Будем для простоты считать, что площадь двумерного металла является единичной. Tогда число электронов на каждом уровне Ландау есть просто отношение площади канала к площади pl2, занимаемой одним электроном. Отсюда

ne =

pl2

p(h/2p)

Если подставить численные значения параметров e = 1.6 ·10-19 Кл, B = 102 Тл, (h/2p) = 1.05 ·10-34 Дж·с, то получается, что на каждом уровне Ландау может разместиться примерно 1012 электронов на каждый квадратный сантиметр площади канала.

Полученный результат нуждается в некоторой коррекции. Дело в том, что мы подсчитали число электронов на уровне Ландау с учетом спина, который может принимать два значения: ±1/2. Но в действительности в сильном магнитном поле каждый уровень Ландау расщепляется на два спиновых подуровня, на каждом из которых может разместиться в два раза меньше электронов, чем мы только что подсчитали, а именно:

ne =

2p(h/2p)

(2)

(здесь и далее h = 2p(h/2p)). Это расщепление уровней достаточно велико, так что спиновые подуровни совершенно не перекрываются. Учет спинового расщепления уровней Ландау не дает ничего нового при рассмотрении квантового эффекта Холла, поэтому мы в дальнейшем будем говорить об уровнях Ландау, хотя на самом деле речь всегда будет идти о подуровне с определенной ориентацией спина.

Проводимость и эффект Холла в двумерном металле

Рассмотрим теперь проводимость и эффект Холла двумерного металла в квантующем магнитном поле. Схема проведения эксперимента представлена на рисунке.

Схема измерения продольного сопротивления и квантового эффекта Холла

Из приведенного рисунка следует, что если пропускать по образцу электрический ток вдоль оси Х, то в магнитном поле Bz ориентированном вдоль оси Z в классическом случае возникает сила Лоренца, отклоняющая электроны к дальней от нас грани образца. Поскольку электроны имеют заряд, то перераспределение электронов вызовет появление электрического поля Ey, величину которого можно найти из условия равенства сил, действующих на электроны в Y-направлении со стороны электрического и магнитного полей: enEy = en vd B, где vd - дрейфовая скорость электрона, n - число электронов проводимости в канале. Величина дрейфовой скорости vd имеет смысл средней скорости направленного движения электронов вдоль оси X и ее не нужно путать со средней скоростью теплового движения.

Учитывая, что плотность электрического тока J = envd, можно получить простое выражение для холловского поля Ey = RJB, где R = 1/(en) - константа Холла. Удобно наряду с константой Холла ввести холловское сопротивление RH = R B. Из определения холловского сопротивления следует, что Ey = RHJ; эта величина действительно измеряется в омах и для случая, когда применима классическая механика, должна быть обратно пропорциональна числу электронов.

Из определения холловского сопротивления следует, что величина RH пропорциональна B и график зависимости RH(B) должен иметь вид прямой линии, выходящей из начала координат, тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен 1/en. Для нормального трехмерного металла при комнатной температуре и не слишком высоких значениях магнитного поля (1-5 Тл) экспериментальные результаты вполне хорошо соответствуют описанной выше картине поведения холловского сопротивления (кстати, эффект Холла в металлах был открыт более ста лет назад в 1879 году американским физиком Е.Г. Холлом).

Зависимость холловского сопротивления от величины приложенного магнитного поля. Кривая с острыми пиками - это зависимость омического сопротивления образца от магнитного поля. Как следует из графика, сопротивление каждый раз обращается в нуль, когда квантовый эффект Холла выходит на плато

Экспериментальные результаты, представленные на рисунке, дают совершенно другой результат. Дело в том, что эти опыты проводились в двумерной МОП-структуре при температуре 1 К, когда классическое рассмотрение неприменимо и нужно учитывать квантование движения электронов. Холловское сопротивление обнаруживает ряд ярко выраженных ступенек, причем значение сопротивления для этих ступенек строго определяется выражением RH = h/(ie2), где i = 1,2,3... (на рисунке видны ступеньки со второй по десятую; константа h/e2 примерно равна 25 кОм). Величина Холловского сопротивления оказывается настолько стабильной (не зависящей от параметров образца и температуры), что это позволило использовать ее в качестве национального стандарта электрического сопротивления в целом ряде развитых стран мира.

Попробуем разобраться, почему получается столь странная зависимость холловского и омического сопротивлений от магнитного поля. Будем считать, что полное число электронов в канале фиксировано и напряжение на затворе постоянно. В этом случае максимальная энергия EF, которую имеют электроны проводимости в кристалле (иначе эту энергию называют энергией Ферми), практически не зависит от магнитного поля, если (h/2p)W << EF, а расстояние между уровнями Ландау (h/2p)W прямо пропорционально B и будет линейно уменьшаться при уменьшении B.

Для нашего случая это значит, что если при B = 7 Тл электроны размещались на первом и втором уровнях Ландау, то при B = 5 Тл электроны разместятся уже на трех уровнях Ландау. Иначе говоря, при уменьшении магнитного поля уровни Ландау поочередно пересекают уровень Ферми. При уменьшении магнитного поля полное число электронов не изменилось, а количество электронов, которые могут разместиться на одном уровне Ландау стало меньше (это число одинаково для всех уровней Ландау, лежащих ниже уровня Ферми) в полном соответствии с формулой (2). Поэтому теперь для размещения всех электронов потребовалось занять следующий уровень энергии. Ясно, что если под уровнем Ферми находится точно i полностью заполненных уровней Ландау, то n = ine и если подставить значение ne из формулы (2), то получаем выражение n = i eB/h, которое уже позволяет объяснить численное значение величины квантового эффекта Холла.

Действительно, поскольку B = nh/(ie) и RH = RB имеем, что

RH = h/(ie2)

выражается только через фундаментальные константы, не зависит от характерных параметров образца и находится в полном соответсвии с экспериментально полученным результатом.

Обратимся теперь к поведению омического сопротивления. Необходимо заметить, что при измерении квантового эффекта Холла по образцу пропускается некоторый фиксированный ток, а измеряемыми величинами являются продольная и поперечная разности потенциалов. Омическим сопротивлением называется отношение продольной разности потенциалов к силе тока, пропускаемой через образец.

Делались многочисленные попытки выяснить численное значение сопротивления образца в режиме квантового эффекта Холла и зависимость его от температуры. При наиболее низких температурах минимальное значение сопротивления RH < 10-7 Ом, причем оно очень сильно падает с понижением температуры. Однако следует признать, что в настоящее время, видимо, не существует до конца непротиворечивой теории, описывающей протекание тока в образце в режиме квантового эффекта Холла. Можно лишь утверждать, что важную роль в формировании токовых состояний играют примеси. С одной стороны они приводят к уширению уровней Ландау, а с другой вызывают локализацию электронных состояний. На рисунке приведен схематический график зависимости плотности состояний электронов N(E) от энергии.

Зависимости плотности состояний электронов от энергии при наличии примесей

Напомним, что выражение N(E)dE по определению имеет смысл числа разрешенных состояний в интервале энергии от E до E+dE. На этом рисунке пики соответствуют уширенным уровням Ландау, затененные области - локализованным, а светлые области вблизи экстремальных значений N(E) - токовым состояниям электронов проводимости.

Как только уровень Ферми за счет движения уровней Ландау по мере роста магнитного поля попадает в область делокализованных электронов, омическое сопротивление сразу обращается в нуль и остается таковым, пока уровень Ферми не попадет в область локализованных состояний. По существу эта простая идея может объяснить всю совокупность экспериментальных фактов для целочисленного квантового эффекта Холла, хотя, как уже отмечалось, при более детальном рассмотрении остается целый ряд не до конца понятных вопросов о природе холловского сопротивления.

Дробный квантовый эффект Холла

Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) был открыт в 1982 г Цуи, Штермером и Госсардом. Ими было обнаружено, что если высококачественный образец с малым количеством примесей поместить при очень низкой температуре (порядка 0.1 К) в магнитное поле напряженностью 15 - 20 Тл, то возникают холловские плато и глубокие провалы продольного сопротивления при дробных заполнениях самого нижнего уровня Ландау (i = 1/3, i = 2/3), подобно тому, как это имело место при целых числах заполнения.

Впоследствии оказалось, что наблюдаются и другие дробные значения, но они еще легче разрушаются "грязью" и требуют еще более низких температур. Типичные экспериментальные результаты приведены на рисунке.

Холловское и омическое сопротивления в режиме ДКЭХ

Здесь по оси абсцисс отложено магнитное поле в единицах Тесла, а по оси ординат значения холловского и омического сопротивлений. Стрелками отмечено значение магнитного поля, при котором омическое сопротивление минимально. На рисунке хорошо видно