Сборник Лекций по матану
width="556" height="206" />Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.
Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.
Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.
Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.
Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f(x0) = 0.
Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.
Если в точке x0 выполняются условия:
1) f(x0) = 0; f(x0) < 0, тогда x0 – точка максимума;
2) f(x0) = 0; f(x0) > 0, тогда x0 – точка минимума;
3) f(x0) = 0; f(x0) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0 = 0 у функции y = x4, но может его не быть, например в точке x0 = 0 у функции y = x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.
Рассмотрим пример из микроэкономики.
В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.
Это означает существование функции полезности TU аргумента Q –количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной оси
количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 7. В этой системе координат проведем график функции TU = TU(Q). Точка Q0 на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина Q –добавочный приобретенный товар. Разность TU = TU(Q0 + Q) – TU(Q0) добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” Q. Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле TU / Q (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины Q. Если здесь перейти к пределу при Q 0, то получится формула для определения предельной полезности MU:
.
Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.
§9. Неопределенный интеграл.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x(a;b) выполняется равенство F(x) = f(x).
Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.
Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) первообразная для f(x), так как .
Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b).
Доказательство.
(F + C) = F + C = f + 0 = f
По определению F + C первообразная для f.
Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.
Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g(x) = 0.
Доказательство.
Так как g(x) = C, справедливы равенства: g(x) = C = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).
Если g(x) = 0 при всех x(a;b), то g(x) = C на (a;b).
Доказательство.
Пусть g(x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1(a;b). Тогда для любой точки x(a;b) по формуле Лагранжа имеем
g(x) – g(x1) = g()(x – x1)
Так как (x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const.
Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число.
Доказательство.
Возьмем
производную
от разности
G – F:
(G – F) = G – F =
= f – f = 0.
Отсюда следует:
G – F = C,
где C
число, то есть
G = F + C.
Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число.
Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием.
Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F(x) = f(x) соответствует формула f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов:
1) dx = x + C; |
7) cosx dx = sinx + C; |
2) xdx=(1); |
8) ; |
3) ; |
9) ; |
4) exdx =ex+C; |
10) |
5) axdx =axlogae+C (1) ; |
11) |
6) sinx dx=-cosx + C; |
12) . |
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) ( f(x) dx )=f(x); |
4) d f(x)=f(x)+C ; |
2) f (x) dx= f(x)+C ; |
5) kf(x)dx=kf(x) dx; |
3) d f(x) dx= f(x)dx; |
6) (f(x)+g(x))dx= f(x) dx+g(x) dx ; |
(a 0). |
Все эти свойства непосредственно следуют из определения.
§10. Замена переменной в неопределенном интеграле
Если функция f(x) непрерывна, а функция (t) имеет непрерывную производную (t), то имеет место формула
f((t))(t) dt = f(x) dx, где x = (t).
Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода.
Примеры. 1. I = cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3.
.
2. . Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t.
3. . Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и
.
4. . Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и
.
§11. Формула интегрирования по частям
Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда
(uv) = uv + vu
Отсюда следует
(uv)dx = (uv + vu )dx = uv dx + vu dx
или
uv dx = uv – uv dx .
Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:
u(x)dv(x) = u(x) v(x) – v(x)du(x)
Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.
Примеры. 1. I = x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:
I = x sinx – sinx dx = x sinx + cosx + C.
2.
I = (x2 – 3x + 2) e5xdx.
Пусть
x2 – 3x + 2 = u;
e5xdx = dv.
Тогда
du = (2x – 3) dx;
.
.
К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; , и окончательно получаем:
.
3. ;
;
.
В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:
.
Представим дробь в виде суммы двух дробей: и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства получим систему уравнений
с решением . Отсюда следует:
.
Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.
§12. Определенный интеграл
Пусть
на промежутке
[a;b]
задана функция
f(x).
Будем считать
функцию непрерывной,
хотя это не
обязательно.
Выберем на
промежутке
[a;b]
произвольные
числа x1, x2, x3, , xn-1,
удовлетворяющие
условию:
a<
x1,<
x2<<
xn-1,<b.
Эти числа разбивают
промежуток
[a;b]
на n
более мелких
промежутков:
[a;x1], [x1;x2], [xn-1;b].
На каждом из
этих промежутков
выберем произвольно
по одной точке:
c1[a;x1], c2[x1;x2], cn[xn-1;b].
Введем обозначения: x1 = x1 – a; x2 = x2 – x1; xn = b – xn-1.
Составим сумму:
.
Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.
Введем обозначение: = max(xi), i = 1, 2, n.. Величину иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина стремится к нулю. Определенныминтегралом
от функции по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:
.
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
.
Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой
.
Перечислим свойства определенного интеграла:
1) (здесь k произвольное число);
2) ;
3) ;
4) Если c[a;b], то .
Из этих свойств следует, например, что .
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда c[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства
.
§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
,
определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента x:
I(x) = I(x + x) – I(x) =
.
Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения I(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах x (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)x. Отсюда получаем соотношение
.
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина x.
Из сказанного следует формула для производной функции I(x):
.
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x = a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде
. (1)
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
,
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом .
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1. .
2. .
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x – 1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:
I = ex(x – 1) = 1.
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:
.
Здесь и определяются, соответственно, из уравнений () = a; () = b, а функции f, , должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:.
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:
.
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n; 0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом называется , если предел существует. Если этот предел не существует, то не существует и несобственный интеграл. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл расходится. При существовании предела говорят, что несобственный интеграл сходится.
Аналогично
и .
Примеры: 1. . Очевидно: , откуда следует
.
2. ; этот предел не существует, следовательно, не существует или расходится интеграл I.
3. ; здесь предел также не существует, и интеграл расходится.
Упражнения
1. Найти производные от следующих функций:
1) |
; |
2) |
; |
3) |
; |
3) |
; |
5) |
; |
6) |
; |
7) |
; |
8) |
; |
9) |
; |
10) |
; |
11) |
где x = 1; |
12) |
; |
13) |
где t = / 6; |
14) | |
15) |
; |
16) |
. |