Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками" width="247" height="24" />.
Удовлетворяя (14) граничным условиям (12),
получим линейную алгебраическую систему трех уравнений относительно 
с определителем:
.
Положим, что 
. Тогда 
находят по формулам:
, (15)
, (16)
, (17)
где 
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Учитывая (15) – (17) в (14), получаем:
,
где 
,
,
,
или
, (18)
где 
.
Если считать функцию 
известной, то (18) представляет собой
интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром относительно
. Обозначив
,
решение уравнения (18) будем искать в виде:
. (19)
После подстановки (19) в (18) имеем
выражение:
.
Если 
, то 
определяется по формуле:
. (20)
Учитывая (19), (20) в (18), получаем:
, (21)
где 
,
.
В равенстве (21) учтем значение 
. В результате
будем иметь:
, (22)
где 
,
,
,
,
,
.
Перепишем уравнение (22) в виде:
, (23)
где 
.
В силу условий, наложенных на заданные
функции 
, можем
заключить, что 
,
следовательно 
.
Обращая интегральное уравнение Вольтерра
второго рода (23), получаем:
, (24)
где 
– резольвента ядра 
. Заметим, что
резольвента обладает такими же свойствами, что и ядро [3].
Заменяя в равенстве (24) функцию 
ее значением, получаем:
, (25)
где 
,
.
Перепишем уравнение (25) в виде:
, (26)
где 
.
Решение уравнения (26) будем искать в виде:
, (27)
где 
.
Поступая аналогично предыдущему случаю,
получим
, если 
.
Таким образом, имеем:
| 3
Труды
молодых ученых № 3, 2007 |
, (28)
где 
.
Уравнение (28) перепишем в виде:
, (29)
где 
.
Решение уравнения (29) ищем в виде:
, (30)
где 
.
Подберем теперь постоянную 
так, чтобы определенная формулой (30) функция была решением интегрального уравнения (29). С
этой целью внесем выражение (30) для в левую часть (29). После простых вычислений
получаем:
,
откуда
,
где положено, что
.
Таким образом, имеем:
. (31)
Полагая в равенстве 
, находим
,
если 
, т.е.
