Экономическое моделирование в банковской сфере

Задание 1


В таблице приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство за 4 года (16 кварталов).


t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Y (t) 43 54 64 41 45 58 71 43 49 62 74 45 54 66 79 48

Требуется:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 = 0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

независимости уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом уровне значения r1 = 0,32;

нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1. Для оценки начальных значений а (0) и b (0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:


Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:



Таблица 1

t Y (t) t-tср (t-tср) 2 Y-Yср (Y-Yср) х (t-tср)
1 43 -4 12 -9 33
2 54 -3 6 2 -4
3 64 -2 2 12 -17
4 41 -1 0 -11 6
5 45 1 0 -7 -4
6 58 2 2 6 8
7 71 3 6 19 47
8 43 4 12 -9 -33

36

419

0

42

0

36

Произведем расчет:



Получим линейное уравнение вида:



Для сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений составим таблицу.

Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной модели

t Y (t) Yp (t)
1 43 49,42
2 54 50,26
3 64 51,11
4 41 51,95
5 45 52,80
6 58 53,64
7 71 54,49
8 43 55,33

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели.

Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y (t) I квартала первого года, равное , и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) .

Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.



Аналогично находим оценки коэффициентов сезонности для II, III и IV кварталов:


Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя следующие формулы:



Таблица 3. Модель Хольта-Уинтерса

t Y (t) a (t) b (t) F (t) Yp (t)

Абс. погр.,

E (t)

Отн. погр.,

в%
0
48,57 0,85 0,8612 -
-
1 43 49,57 0,89 0,8650 42,56 0,44 1,03
2 54 50,35 0,86 1,0746 54,39 -0,39 0,72
3 64 50,88 0,76 1,2658 65,43 -1,43 2,24
4 41 51,85 0,82 0,7877 40,44 0,56 1,37
5 45 52,48 0,76 0,8605 45,56 -0,56 1,24
6 58 53,46 0,83 1,0807 57,21 0,79 1,36
7 71 54,83 0,99 1,2833 68,73 2,27 3, 20
8 43 55,45 0,88 0,7803 43,97 -0,97 2,26
9 49 56,52 0,94 0,8644 48,47 0,53 1,07
10 62 57,43 0,93 1,0801 62,09 -0,09 0,15
11 74 58,15 0,87 1,2769 74,89 -0,89 1, 20
12 45 58,61 0,74 0,7728 46,05 -1,05 2,34
13 54 60,29 1,03 0,8832 51,31 2,69 4,99
14 66 61,25 1,01 1,0785 66,23 -0,23 0,34
15 79 62,14 0,97 1,2735 79,50 -0,50 0,63
16 48 62,81 0,88 0,7676 48,77 -0,77 1,61







25,75

Проверка качества модели.

Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E (t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.


Таблица 4. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t E (t) Точка поворота E (t) 2 [E (t) - E (t-1)] 2 E (t) xE (t-1)
1 0,44 - 0, 194 - -
2 -0,39 0 0,150 0,69 -0,17
3 -1,43 1 2,05 1,09 0,55
4 0,56 1 0,32 3,98 -0,81
5 -0,56 1 0,31 1,26 -0,32
6 0,79 0 0,62 1,81 -0,44
7 2,27 1 5,17 2,21 1,79
8 -0,97 1 0,95 10,54 -2,21
9 0,53 1 0,28 2,24 -0,51
10 -0,09 0 0,01 0,38 -0,05
11 -0,89 0 0,78 0,63 0,08
12 -1,05 1 1,11 0,03 0,93
13 2,69 1 7,26 14,03 -2,83
14 -0,23 0 0,05 8,52 -0,61
15 -0,50 0 0,25 0,07 0,11
16 -0,77 - 0,60 0,08 0,38
Сумма 0,41 8,00 20,09 47,57 -4,09

2. Проверка точности модели.

Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y (t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%, значит, условие точности выполнено.

3. Проверка условия адекватности.

Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2 табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=8.

Рассчитаем значение :



Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16.



Так как количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим двумя методами:

1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):



Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:


Условие выполнено (1,37<1,63<2), следовательно, уровни ряда Е (t) являются независимыми.

2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):



Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения < rтабл., то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,20 < rтабл. = 0,32 - значит уровни независимы.

Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:


,


где - максимальное значение уровней ряда остатков ;

- минимальное значение уровней ряда остатков ;

S - среднее квадратическое отклонение.


Emax - Emin = 2,69 - (-1,43) = 4,13


Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp (t) на год.

4. Расчет прогнозных значений экономического показателя.

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:


,


где k - период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

- коэффициенты модели;

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

- период сезонности.

Определим прогнозные значения экономического показателя Yp (t) для: t = 17, 18,19 и 20.



5. На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Рис.1. Сопоставление расчетных и фактических данных


Задание 2


Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным 5 дням.


Дни Цены

макс. мин. закр.
1 858 785 804
2 849 781 849
3 870 801 806
4 805 755 760
5 785 742 763
6 795 755 795
7 812 781 800
8 854 791 853
9 875 819 820
10 820 745 756

Рассчитать: экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс относительной силы; % R,% К,% D;

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Для расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:


,


где k = 2/ (n + 1),

- цена закрытия t-го дня;

- значение EMA текущего дня t.

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад :



где - цена закрытия t-го дня.

- значение МОМ текущего дня t.

Скорость изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:


,


где - цена закрытия t-го дня.

- значение ROC текущего дня t.


Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента, скорости изменения цен

Дни Цены закр ЕМАt МОМt ROCt
1 804 804,00 - -
2 849 819,00 - -
3 806 814,67 - -
4 760 796,44 - -
5 763 785,30 - -
6 795 788,53 -9,0 98,88
7 800 792,35 -49,0 94,23
8 853 812,57 47,0 105,83
9 820 815,05 60,0 107,89
10 756 795,36 -7,0 99,08

Для расчета индекса относительной силы используем формулу:


,


где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.


Таблица 2. Результаты расчета индекса относительной силы

Дни Цены закрытия Изменение (+/-) RSI




1 804 45 -
2 849 -43 -
3 806 -46 -
4 760 3 -
5 763 32 -
6 795 5 47,3
7 800 53 31,0
8 853 -33 66,9
9 820 -64 73,8
10 756 45 48,1

Рассчитаем %R, %К, %D используя следующие формулы:


,

где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.


,


где - значение индекса текущего дня t;

- цена закрытия t-го дня;

L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущие.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при его построении величины и сглаживают, беря их трехдневную сумму.



Таблица 3. Результаты расчетов %R, %К, %D

Дни Цены % Kt % Rt %Dt

макс мин закр


1 858 785 804
- -
2 849 781 849 - - -
3 870 801 806 - - -
4 805 755 760 - - -
5 785 742 763 16,41 83,59 -
6 795 755 795 41,41 58,59 -
7 812 781 800 45,31 54,69 34,38
8 854 791 853 99,11 0,89 60,33
9 875 819 820 58,65 41,35 66,22
10 820 745 756 8,46 91,54 53,33

Задание 3


3.1 Банк выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 55% годовых. Найти:

3.1 1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1 3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение:


3.1 1) К = 365, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.

3.1 2) К = 360, t = 73, I = 5 000 000 х 0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.

3.1 3) К = 360, t = 74, I = 5 000 000 х 0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.


3.2 Через 90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.

Кредит выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).

Какова первоначальная сумма и дисконт?

Решение:


P = S / (1 + ni) = 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.


3.3 Через 90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Решение:


D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.

P = S - D = 5 000 000 - 687 500,00= 4 312 500,00 руб.


3.4 В кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение:


S = P x (1+i) n = 5 000 000 х (1+0,55) 5 = 44 733 048,44 руб.


3.5 Сумма размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55% годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Решение:


N = 5 x 4 = 20

S = P x (1+j / m) N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20 = 65 765 497,67 руб.


3.6. Вычислить эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя из номинальной ставки 55% годовых.

Решение:


iэ = (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55/4) 4 - 1 = 0,6742, т.е.67,42%.


3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.

Решение:


j = m x [ (1 + iэ) 1/m - 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (1/4) - 1] = 0,46316, т.е.46,316%.


3.8. Через 5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 55% годовых.

Решение:


руб.


3.9. Через 5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.

Решение:


P = S (1 - dсл) n = 5 000 000 x (1 - 0,55) 5 = 92 264,06 руб.

D = S - P = 5 000 000 - 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.


3.10. В течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб., на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:


руб.