Теории управления

уравнений и вариационное

исчисление’.

U

Численный метод Эйлера ( численный метод)

, ;

(5)

Численный метод предназначен для решения не-

линейных дифференциальных уравнений.

Берется из апприорных (начальных условий),

подставляется в правую часть уравнения (5) и

т.д. Это называется реккурентностью.

Качественная теория решения нелинейных диффе-

ренциальных уравнений (в приложении к нелинейным систе-

мам)

В отличие от численного метода (Метод Эйлера), который

дает решение в 1й точке ( не дает траекторию (нужно де-

лать 1000 точек, чтобы получить траекторию)).

Пуан Каре в 19 веке дал качественную теорию решения диф-

ференциальных уравнений, она используется для решения не-

линейных дифференциальных уравнений в виде некоторого фа-

зового портрета (некоторый графический материал, по ко-

торому можно анализировать траекторию движения динамичес-

кой системы, т.е. фактически получить решение (1-го из

решений).

На примере X и Y :

y (1) , где

f(x,y) - некоторая нели-

a dy нейная функция

- нелинейная

функция

x

Найти решение означает - найти y=j(x) (2),

которая удовлетворяет (1).

Пуан Каре развил метод , как найти (2) прямо на

плоскости.

Метод изоклин

Если f(x,y)=const, то , а , на кривой

f(x,y)=const все производные имеют одно и тоже значение,

такая кривая называется изоклиной. (tga=const, a=const)

Можно вычислить множество изоклин, это множество дает по-

ле направлений. Касательная к этому полю и есть решение,

т.о. это есть траектория, которую мы разыскиваем.

y Пример1: ;

y

- решение диф. - изоклина

уравнения

x

x

Пример 2: ,

Величина радиуса - значение производной, любая окружность - изоклина. Решение (касательная к полю направления) -

-есть касательная к векторам, расположенная на изоклинах.

­ - изоклина

¬ решение

- Уравнение Вандер Поля

x(t) - напряжение на контуре автогенератора, фазовая пе-

ременная