Статистические задачи

ЗАДАЧА 1


По исходным данным вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и базисной схемам):

средний уровень ряда динамики;

абсолютный прирост;

темп роста;

темп прироста;

абсолютное значение 1% прироста;

средний темп роста и средний темп прироста.

Средний уровень интервального ряда определим по формуле:



где Yi – значение грузооборота;

n – число значений в динамическом ряду.

Абсолютный прирост относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:


ΔYi=Yi-Y0


Абсолютный прирост грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:


ΔYi=Yi-Yi-1


Темп роста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:



Темп роста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:



Темп прироста относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:



Темп прироста грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:



Средний темп роста грузооборота определим по формуле:



Средний темп прироста грузооборота определим по формуле:



Абсолютное значение одного процента прироста определим по формуле:



Результаты расчёта аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1


Таблица 1 – Основные аналитические показатели ряда динамики

Показатель Схема счета Периоды


1 2 3 4 5 6 7 8
Уровень ряда
1199 1253 1573 1385 1276 1385 1266 1358
Средний уровень ряда
1336,875






Абсолютный прирост Базисная 100 54,0 374,0 186,0 77,0 186 67 159

Цепная 100 54,0 320,0 -188,0 -109,0 109,0 -119,0 92,0
Темп роста Базисная 100 104,5 131,2 115,5 106,4 115,5 105,6 113,3

Цепная 100 104,5 125,5 88,0 92,1 108,5 91,4 107,3
Темп прироста Базисная 100 4,5 31,2 15,5 6,4 15,5 5,6 13,3

Цепная 100 4,5 25,5 -12,0 -7,9 8,5 -8,6 7,3
Абсолютное значение 1% прироста

11,99 12,53 15,73 13,85 12,76 13,85 12,66
Средний темп роста
101,79






Средний темп прироста
1,79







Произведем сглаживание данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней, централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным трех лет, и построим график сезонной волны.

Сглаживание рядов динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:

;

и т.д. - нецентрализованная

- централизованная


Коэффициент сезонности определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:



Средний коэффициент сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:



где n – количество рассчитанных коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.

Расчет скользящей средней и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.

Простроим график сезонной волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.


Рисунок 1 – График сезонной волны


Таблица 2 – Расчет коэффициента сезонности

Год Месяц Уровень ряда Скользящая средняя Коэффициент сезонности Средний коэффициент сезонности



нецентрированная центрированная

1994 1 21,1




2 22,8




3 23,9




4 23,8




5 24,5




6 24,6 23,550



7 25,9 23,492 23,521 104,016

8 25,7 23,617 23,554 103,213

9 24,2 23,783 23,700 97,189

10 25,5 23,942 23,863 102,410

11 22,3 24,067 24,004 89,558

12 18,3 24,217 24,142 73,494
1995 1 20,4 24,308 24,263 81,928 81,53

2 24,3 24,408 24,358 97,590 97,39

3 25,9 24,500 24,454 104,016 107,23

4 25,7 24,592 24,546 103,213 107,03

5 26 24,608 24,600 104,418 107,83

6 26,4 24,750 24,679 106,024 110,84

7 27 24,733 24,742 108,434 106,22

8 26,9 24,725 24,729 108,032 105,62

9 25,3 24,858 24,792 101,606 99,40

10 26,6 25,017 24,938 106,827 104,62

11 22,5 25,158 25,088 90,361 89,96

12 20 25,358 25,258 80,321 76,91
1996 1 20,2 25,517 25,438 81,124

2 24,2 25,942 25,729 97,189

3 27,5 26,325 26,133 110,442

4 27,6 26,367 26,346 110,843

5 27,7 26,467 26,417 111,245

6 28,8 26,400 26,433 115,663

7 28,9




8 32




9 29,9




10 27,1




11 23,7




12 19,2



Итого: 896,4



Средняя: 24,90




Из графика видно, что коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.


ЗАДАЧА 2


Произвести аналитическое выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам грузов:

при равномерном развитии y = a0 + a1t ;

при развитии с переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;

при изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt + bk sinRt) .

Результаты расчётов представить в виде таблиц и графиков.

1. Способ отсчета времени от условного начала, когда ∑t=0, дает возможность определить параметры математической функции по формулам:


Результаты вычислений приведем в таблице 3:


Таблица 3 – Вычисление параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3

Год t y tІ ty t4 t6 tІy tіy Yti* Yt (Yti*-y)І (Yt-y)І
1 -4 1199 16 256 4096 -4796 19184 -76736 1324,2 1175,2 15677,13 566,75
2 -3 1253 9 81 729 -3759 11277 -33831 1327,4 1354,3 5531,64 10254,93
3 -2 1573 4 16 64 -3146 6292 -12584 1330,5 1432,5 58786,04 19730,33
4 -1 1385 1 1 1 -1385 1385 -1385 1333,7 1438,1 2630,84 2817,52
5 1 1276 1 1 1 1276 1276 1276 1340,0 1343,3 4101,34 4532,35
6 2 1385 4 16 64 2770 5540 11080 1343,2 1299,2 1746,54 7364,77
7 3 1266 9 81 729 3798 11394 34182 1346,4 1294,6 6460,14 820,27
8 4 1358 16 256 4096 5432 21728 86912 1349,5 1357,8 71,54 0,05
итого 0 10695 60 708 9780 190 78076 8914 10695,0 10695,0 95005,21 46086,98

Тогда:



Уравнение при равномерном развитии:


y = 1336,88 - 3,17 ∙ t


2. Для вычисления параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3 :



Тогда:


Уравнение при развитии с переменным ускорением (замедлением):


yt= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t2 + 4,68 t3;


3. По рассмотренным моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.


Рисунок 2 – График фактических и теоретических уровней ряда


Рассчитаем стандартизированную ошибку аппроксимации –



4. При изучении сезонных колебаний по данным об отправлении грузов необходимо рассчитать параметры:


Результаты расчётов сведём в таблицу 4


Таблица 4 – Выравнивание ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год

Месяц ti yi cos ti sin ti yi∙cos ti yi∙sin ti yti
1 0 21,10 1 0 21,1 0 21,21
2 (1:6)π 22,80 0,86616 0,5 19,748 11,4 21,66
3 (1:3) π 23,90 0,5 0,866 11,95 20,6974 22,62
4 (1:2) π 23,80 0 1 0 23,8 23,82
5 (2:3) π 24,50 -0,5 0,866 -12,25 21,217 24,96
6 (5:6) π 24,60 -0,866 0,5 -21,3 12,3 25,71
7 π 25,90 -1 0 -25,9 0 25,89
8 (7:6) π 25,70 -0,866 -0,5 -22,26 -12,85 25,44
9 (4:3) π 24,20 -0,5 -0,866 -12,1 -20,9572 24,48
10 (3:2) π 25,50 0 -1 0 -25,5 23,28
11 (5:3) π 22,30 0,5 -0,866 11,15 -19,3118 22,14
12 (11:6) π 18,30 0,866 -0,5 15,848 -9,15 21,39

- 282,6

-14,01 1,6454 282,60


Фактические и теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.


Рисунок 3 – График фактических и теоретических уровней ряда выравнивания


Фактические и теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа на гармоническую функцию.

Поэтому функцию можно использовать для выравнивания ряда динамики.


ЗАДАЧА 3


По данным таблицы определить:

1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;

2) сводный индекс расхода топлива на дороге;

3) изменение среднего удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;

4) абсолютный размер экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.


Таблица 10 – Грузооборот и удельный расход топлива по отделениям железной дороги

Отделение Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто. Грузооборот брутто, млн. т·км Выполнение норм удельного расхода топлива, % Расход топлива, тонн

Норма Факти-чески Норма Факти-чески % выпол-нения
План Факт Отчетного по удельному расходу базисного
1 50 47 200 113 56,5 94,0 10000 5311 5650
2 55 57 320 102 31,9 103,6 17600 5814 5610
3 48 45 400 101 25,3 93,8 19200 4545 4848



920 316 113,6
46800 15670 16108

1) выполнение норм удельного расхода топлива по отделениям и дороги в целом


Iи=∑и1q1 / ∑и0q1 =15670 / 16108 = 0,973


2) Сводный индекс расхода топлива


Iиq=∑и1q1 / ∑и0q0 =15670 / 46800 = 0,335


3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава


Iи = ∑и1q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = ∑и1q1/∑и0q1= 15670/316 : 46800/920 = 0,975


Индекс удельного расхода топлива постоянного состава


Iи=∑и1q1/∑q1 : ∑и0q1/∑q1= ∑и1q1/∑и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973


Индекс структурных сдвигов

Iстр= ∑и0q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = 16108/316 : 46800/920 = 1,002


4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода


Δиq=∑и1q1-∑и0q1= 15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота

Δиqq=∑и0q1-∑и0q0= 16108 - 46800 = -30692 кг


ЗАДАЧА 4


№ 1. Для изучения производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено 10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:


Часовая выработка, шт. 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
Число рабочих 2 8 24 50 12 4

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали токарями завода.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле:



Дисперсия



где хi - часовая выработка

- средняя часовая выработка по всем рабочим выборки;

fi - сумма всех частот


Часовая выработка, шт. 18-20 20-22 22-24 24-26 26-28 28-30
Число рабочих 2 8 24 50 12 4 100

40 176 576 1300 288 120 2500

(xi - )2

 -10 -24 -24 50 36 20 48

∆х = ± t · μx ∆х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.


Ответ: с вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.


Литература


Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 30 с.

Быченко О.Г. Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 31 с.

Общая теория статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. – М.: Финансы и статистика, 1981. – 279 с., ил.