Дифференциальное исчисление
f(x) в точке x
0 нужно:
1) Найти f(x) - f(x0);
2) составить разностное
отношение 
;
3) вычислить предел
разностного отношения при 
:
.
Теорема: Если функция f(x) имеет
производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Согласно условию теоремы
функция f(x) в точке x0 дифференцируема, т.е. существует
предел:
Используя свойство
предела, запишем это равенство в следующем виде:
,
где 
. Домножим равенство на (х – х0),
находим, что дифференцируемая в точке x0 функция
представима в окрестности этой точки в виде:
,
где . Переходя к пределу при в равенстве получаем:
.
Последнее формула
означает непрерывность функции f(x) в точке x0.
Замечание. Из доказанной теоремы легко
усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в
этой точке не имеет производной.
Таким образом,
непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее
заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием
существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из
непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.
2. Задание на дом:
повторение темы, № 229, 235, 238
3. Заключительное слово
преподавателя: Прощаюсь с учениками.