Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

8)Ранг матрицы и его вычисление. Привести пример.Рангом матрицы А наз наивысший из порядков миноров этой матрицы не равных нулю.А=(аij)=(a11 a12 … a1n; a21 a22 … a2n; …; am1 am2 … amn) m*x Возьмем и выделим какой-нибудь минор порядка А (а11 а12; а21 а22). Если этот минор не равен нулю то его строки(столбцы) линейно независимы, тогда первые 2-е строки этой матрицы линейно независ. Ранг матрицы А будет не меньше 2-х. При нахождении ранга матрицы пользуются методом окомляющих миноров. Этот метод состоит в том что минор второго порядка окомляют одной строкой и одним столбцом, т.е строят минор 3-го порядка. Если же миноры 3-его порядка окомляющие данный минор 2-го порядка равны нулю, то матрица А не содержит миноров порядка большего 2-х, не равных нулю и ее ранг равен 2-м.Если же есть хотя бы один минор 3-го порядка который не равен нулю, то ранг матрицы не менее 3-х и процедуру окомления 3-порядка продолжают, в итоге будет найден минор 4-го порядка не равный нулю. Для которого все окомляющие миноры n+1-го порядка равны нулю. Тогда ранг матрицы А равен n. Разность матрицы обозн. R(A). Замечания: 1)Ранг нулевой матрицы равен нулю; 2)ранг матрицы равен max числу его линейно независимых строк.Найдите ранг матрицы . Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2: Первую строку умножим на и прибавим ко второй. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к третьей. Получим строку . Первую строку умножим наи прибавим к четвертой. Получим строку.В итоге имеем матрицу Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет видПоменяем местами третий и четвертый столбцы:Базисный минор матрицы стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, . Следовательно,

9)Сист лин уравненийОпределение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.Определение. Для системы линейных уравнений матрицаА = называется матрицей системы, а матрицаА^*= называется расширенной матрицей системыОпределение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.