Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

47)Экстремум ф-ииОпределение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +x) > f(x₂) при любом х (х может быть и отрицательным).Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:, т.е.Тогда

По определению:

Т.е. если х0, но х<0, то f(x₁)  0, а если х0, но х>0, то f(x₁)  0.А возможно это только в том случае, если при х0 f(x₁) = 0.Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.Теорема доказана. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.Пример: f(x) = x Пример: f(x) =

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁)Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.Доказательство.

Пусть По теореме Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f()(x – x₁), где x <  < x₁.Тогда: 1) Если х < x₁, то  < x₁; f()>0;f()(x – x₁)<0, следовательно f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).2) Если х > x₁, то  > x₁f()<0; f()(x – x₁)<0, след f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.Теорема доказана.

48)Точки перегиба граф ф-ии.ПримерОпределение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).Доказательство. Пусть х₀  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.Уравнение кривой: y = f(x);Уравнение касательной: Следует доказать, что .По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀): , x₀ < c < x.По теореме Лагранжа для Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию , следовательно, .Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ то.Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).Теорема доказана.Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.Доказательство. 1) Пусть f(x) (x) > 0 при x > a. Тогда при x a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.Теорема доказана.

49)АсимтотыПри исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Вертикальные асимптоты.Из определения асимптоты следует, что если или или, то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.Наклонные асимптоты.Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра сасимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.По условию: , NMP = , .

Угол  - постоянный и не равный 90⁰, тогда

Тогда .Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х, то , т.к. b = const, то .Тогда , следовательно,

.Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0. Пример. Найти асимптоты и построить график функции .1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.Построим график функции:

5)Определители 3-го порядка.Св-ва. 9 элементов a_ij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемую квадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка. Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T; Свойство 2.det ( A  B) = det A  det B.Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то верно:

50)Общая схема исследования ф-ии.Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов:1)Область существования функции.Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.2)Точки разрыва. (Если они имеются).3)Интервалы возрастания и убывания.4)Точки максимума и минимума.5)Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.6)Области выпуклости и вогнутости.7)Точки перегиба.(Если они имеются).8)Асимптоты.(Если они имеются).9)Построение графика.Применение этой схемы рассмотрим на примере.Пример. Исследовать функцию и построить ее график.Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.Областью значений данной функции является интервал (-; ).Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки.Найдем производную функцииКритические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1. Найдем вторую производную функции

. Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. - < x < -, y < x < -1, y < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y > 0, кривая вогнутая < x < ,y > 0, кривая вогнутая Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. - < x < -,y > 0, функция возрастает - < x < -1,y < 0, функция убывает -1 < x < 0, y < 0, функция убывает 0 < x < 1,y < 0, функция убывает 1 < x < ,y < x < ,y > 0, функция возрастает Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2. Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше.Теперь найдем наклонные асимптоты. Итого, уравнение наклоннойасимптоты – y = x. Построим график функции:

6)Системы линейных уравнений (n=2,3)Теорема Крамера.(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.det A  0;Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. Теорема. Система из n уравнений с n неизвестнымив случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:x_i = _i/, где  = det A, а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i._i = Пример.A = ; ₁= ; ₂= ; ₃= ;x₁ = ₁/detA; x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;Пример. Найти решение системы уравнений: = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = ₁/ = 1;₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.x₂ = ₂/ = 2;₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.x₃ = ₃/ = 3.Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.

7)Система линейных Ур-ий.Теорема Кронекра-Капели. (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.RgA = RgA^*.Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:x₁ + x₂ + … + x_n Доказательство.1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация толбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора,