Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

f(x0 +x) f P

M

f(x0)

x x0 x0 + x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.


,где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.Уравнение касательной к кривой: Уравнение нормали к кривой: .Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.


Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точкеПонятно, что это условие не является достаточным.


1.   , C=const. 2.  . 3.  . 4.   . 5.  . 6. . 7. . 8.  , a О R. 9. . 10. , где а ОR+. 11. . 12., a О R, a № 1. 13. . 14. . 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. 21. . 22. =23. = 24. = 25. = 26. = Доказательство.Докажем формулу .Пусть аргументу x дано приращение h; при этом функция получает приращение , а функция  -- приращение . Их сумма получит тогда приращение

Значит, Совершенно аналогично доказывается формула . Докажем теперь формулу . Пусть снова и  -- приращения функций, соответствующие приращению аргумента . Тогда , и приращением произведения будет


Поэтому, по свойствам пределов, При этом мы вынесли множители и за знак предела как постоянные, не зависящие от переменного , к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу . Заметим, что Поэтому, согласно правилам вычисления пределов,


4)Определители 2-го порядка.Св-ва.Определители 2-ого и 3-го порядков Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|.Определители n-ного порядка.Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения (Aij соответствующее элементу aij и равно Aij = (-1)i+j *Mij) Результат разложения не зависит от того, по какой строке (столбцу) производится разложение:

2 -1 0

4 0 3 = (3 столбец) =

-2 4 5

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det AT;

Свойство 2.det ( A B) = det A det B.Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то верно:



40)Логарифмич дифференцирование.Производная степеннопоказ ф-ииРассмотрим функцию .Тогда (lnx)= , т.к. .Учитывая полученный результат, можно записать .Отношение называется логарифмической производной функции f(x).Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.Производная показательно- степенной функции.Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.Найдем производную функции y = uv. Логарифмируя, получим:lny = vlnu

Пример. Найти производную функции .По полученной выше формуле получаем: Производные этих функций: Окончательно:



41)Производная сложной ф-ииТеорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.ТогдаДоказательство.


( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция) Тогда

Теорема доказана.

42)Производная ф-и задана неявно и параметрическиОпр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .F(x,y,z)=0 x+y+z=ez - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.x2+y2+z2=0 - не задает никакой функции. Теорема: Если ф-я F(x,y,z) непрерывна в т. р0(x0,y0,z0) и ее производная по z Fz(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам: z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z) z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)Док-во: Найдем полный дифференциал функции dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz F(x0,y0,z0)=0dF=0F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0 dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*) С другой стороны: z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**) Сравнивая (*) и(**) z/x= Fx(x,y,z)/Fz(x,y,z)z/y=Fz (x,y,z)/Fy(x,y,z)

Пусть дана функцияпо определению производной имеем Производная параметрически заданной функции.Пример:Логарифмическое дифференцирование Если дифференцируемая функция имеет сложный вид, а именно содержит степени, произведения, частное, то перед дифференцированием её целесообразно прологарифмировать, при этом функция примет линейный или более простой вид, дифференцирование которой намного проще. Дифференцирование степенно-показательных функций проводится только после предварительного логарифмирования.Пример: y=xx ln(y)=xlnx y`=xx(lnx+1)


43) Диффиренциал ф-ии, его свойства.ОпределениеФункция y=f(x) называется диф. в точке x, если приращение функции можно представить в виде Df = Dx+o(Dx), A- const Если f(x) диф. в точке x, то df=A·Dx­­­– дифференциал функции в точке x Функция имеет в точке x производную Ы она дифференцируема. в этой точке Док-во:

$ f’(x)= lim Df/DxЮ Df/Dx=f’(x)+a

Df=f’(x)Dx+aDxЮf-диф.

Df = ADx+aDx

Df/Dx=A+a Ю $ lim Df/Dx =A = f’(x) Следствие: для диф. функции константа A равна производной функции в точке x

Свойства:

Пусть f(x) и g(x)- диф.

    • d(cf) = cdf

    • d(f+g) = df+dg

    • d(f*g)= gdf+fdg

    • d(f/g)= (gdf-fdg)/ g*g

Доказательство: d(f*g)= (fg)’ dx= (gf’+fg’) dx = gf’ dx+ fg’ dx= gdf+fdg

Дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности формы при замене независимой переменной

Доказательство: y= f(x) dy= f’(x) dx x=j(t) dx=j’(t)dt y= f(j(t)) dy= (f(j)))’dt= f’(j(t))*j(t) dt = f’(x) dx

Смысл Физический смысл дифференциала: x=x(t) dx= x(t) dt= u (мгновенное) Физич. диф.- это путь, который прошла бы точка, если ее движение стало бы равномерным со скоростью, взятой в момент времени t Геометрический смысл дифференциала: Геометрически дифференциал равен приращению ординаты вдоль касательной к графику функции, проведенной в заданной точке.

44)Инвариантная форма записи дифференциала первого порядка.Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.Однако, если х- независимая переменная, то dx = x, но если х зависит от t, тох dx. Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной. Пример. Найти производную функции.Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .


Пример. Найти производную функции Пример. Найти производную функции Пример. Найти производную функции


45)Основные теоремы о дифференцируемых ф-яхТеорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных:


46)Правило Лопиталя.Пример(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.