Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

фокус.Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.


А у М(х, у)


О F x



p/2

p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;MF2 = y2 + (x – p/2)2 (x + p/2)2 = y2 + (x – p/2)2 x2 +xp + p2/4 = y2 + x2 – xp + p2/4 y2 = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2. Пример. На параболе у2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:x = 2; y2 = 16; y = 4. Искомые точки: M1(2; 4), M2(2; -4).




25)Общее ур-е линии второго порядкаКривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1

в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2

г) ур-е сферы: x2+y2+z22 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)

д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1



Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)

B

a

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.


Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.

;;2) Умножение.


В тригонометрической форме:,


С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.В тригонометрической форме:4) Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:,где n целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.Пример. Найти формулы sin2 и cos2.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны .По формуле Муавра:

Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.


Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.



27) Комплексные числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.(продолжение 26-1-2)

Тригонометрическая форма числа.Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа..Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.



28)Основные элементарные ф-ии.Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x 1 2 3
y 4 5 8

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xn - степенная

2. y=ax - показательная

3. y=logax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.



29)Предел ф-ии

f(x)

A +

A

A -

a - a a + x


Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что0 < x - a < верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а - < x < a + , x a, то верно неравенство А - < f(x) < A + . Запись предела функции в точке: Определение. Если f(x) A1 при х а только при x - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. f(x)

А2


А1


a


Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).



3)Обратная матрица, ее вычисление.Привести пример.Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.Исходя из определения произведения матриц, можно записать:AX = E , i=(1,n), j=(1,n), eij = 0, i j,

eij = 1, i = j .Таким образом, получаем систему уравнений: Решив эту систему, находим элементы матрицы Х. Пример. Дана матрица А = , найти А-



Таким образом, А-1=.Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:,где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.Пример. Дана матрица А = , найти А-1.det A = 4 - 6 = -2.M11=4; M12= 3; M21= 2; M22=1 x11= -2; x12= 1; x21= 3/2; x22= -1/2Таким образом, А-1=.Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц:(A-1)-1 = A; 2) (AB)-1 = B-1A-1 3) (AT)-1 = (A-1)T.Пример. Дана матрица А = , найти А32 = АА = = ; A3 = = .Отметим, что матрицы и являются перестановочными. Пример. Вычислить определитель .=-= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10. = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.


30)Основные теоремы о пределахТеорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) 0, f(x) 0.Теорема 6. Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или, .е.где М = + АТеорема доказана.



31)Первый замечательный пределДоказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке