Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

25)Общее ур-е линии второго порядкаКривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)

B

a

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.

;;2) Умножение.

В тригонометрической форме:,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.В тригонометрической форме:4) Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:,где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.Пример. Найти формулы sin2 и cos2.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны .По формуле Муавра:

Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

27) Комплексные числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.(продолжение 26-1-2)

Тригонометрическая форма числа.Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа..Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

28)Основные элементарные ф-ии.Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

29)Предел ф-ии

f(x)

A + 

A

A - 

a -  a a +  x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + . Запись предела функции в точке: Определение. Если f(x)  A₁ при х  а только при x - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A₂ при х  а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. f(x)

А₂

А₁

a

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

3)Обратная матрица, ее вычисление.Привести пример.Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.Исходя из определения произведения матриц, можно записать:AX = E  , i=(1,n), j=(1,n), e_ij = 0, i  j,

e_ij = 1, i = j .Таким образом, получаем систему уравнений: Решив эту систему, находим элементы матрицы Х. Пример. Дана матрица А = , найти А-

Таким образом, А^-1=.Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:,где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.det A = 4 - 6 = -2.M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1 x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2Таким образом, А^-1=.Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц:(A^-1)^-1 = A; 2) (AB)^-1 = B^-1A^-1 3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.Пример. Дана матрица А = , найти А³.А² = АА = = ; A³ = = .Отметим, что матрицы и являются перестановочными. Пример. Вычислить определитель .=-= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10. = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

30)Основные теоремы о пределахТеорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или, .е.где М =  + АТеорема доказана.

31)Первый замечательный пределДоказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке