Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

17)Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28 ||).

Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой (на рис. 28 и пересекаются по прямой a, a и - по прямой b).

Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.

18) Взаимное расположение двух прямых на плоскости.Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.1)Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые. 2)Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку - прямые пересекаются. 3)В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с - скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a₁ || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

2)Матрицы,действия над матрицами.Привести пример.Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы.Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А = Основные действия над матрицами.Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.Определение. Матрица вида:= E,называется единичной матрицей.Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.Пример.- симметрическая матрицаОпределение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.c_ij = a_ij  b_ij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. (А+В) =А  В А() = А  АПример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.2А = , 2А + В = .

20)Взаимное расположение прямой и плоскости. Для выяснения взаимного расположения прямой (x=b1t+x0; y=b2t+y0; z=b3t+z0) b(b1, b2, b3)-направляющий вектор прямой Ax+By+Cz+D=0 Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо решить сист Ур-ий A(b1t+x0)+B(b2t+y0)+C(b3t+z0)+D=0; Ab1t+Ax0+Bb2t+By0+Cb3t+Cz0+D=0; (Ab1+Bb2+Cb3)t=-(Ax0+By0+Cz0+D).

1Случай: Ab1+Bb2+Cb3=0, определяет единственное решение, т.к. получаем конкретное значение параметра t, подставив которое в исходное Ур-е прямой получаем точки пересеч с данной плоскостью

2Случай: Пусть выражение Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, т.к. левая часть не может быть равна правой, это говорит о том что прямая параллельна плоскости.

3Случай: Пусть Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, Ур-ям удовлетворяют любые знач t след прямая лежит в плоскости.

Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

М

r₁

r₂

F₁ F₂

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:a² = b² + c².Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:a² = b² + c² r₁ + r₂ = 2a. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.Е = с/a. Т.к. с Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:r₁ = a – ex, r₂ = a + ex. Доказательство. Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых: Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Теорема доказана.С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4. Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки: Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:2c = , таким образом, a² – b² = c² = Ѕпо условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .

22)ГиперболаОпределение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

По определению r₁ – r₂= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.Ось 2а называется действительной осью гиперболы.Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.С учетом того, что с² – а² = b²:Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

23)Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через