Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

1) Основные понятия линейной алгебры. Задачи о перевозках.

Элементы линейной алгебры. Задачи о перевозках. На 2-х складах А1 и А2 сосредоточено а1, а2 тон однородного груза, которые нужно доставить в 3-и пункта назад в В1, В2, В3, потребн пунктов назначения, равны в1, в2, в3 тон. Известно стоимость перевозки одной тонны груза, из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. Требуется составить такой план перевозки, при котором общая стоимость перевозок была бы наименьшей.

А1+А2=В1+В2+В3 Хij – груз(тон) Сij – цена 1т груза.

С=

Т.о задача ставится к нахожд неизвестного X и ij удовлетвор системе Ур-ий

Причем найден Ур-е должны быть такими чтобы ф-я приняла миним з-я. Для реш сформир задачи необходимо уметь решать системы лин Ур-й , т.к. система явл сист лин Ур-й относит xij. Сист m лин Ур-й с n нейзв x1, x2,…,Xn имеет вид а11x1+а12x2+…+a1nXn=b1; a21x1+a22x2+…+a2nXn=b2;…….;am1x1+am2x2+…amnxn=bm.Коэфициенты аij при неизвестн xij (j =1,2,…n), для удобства обозн одной буквой с 2-я индексами i-номер Ур-нии, j- неизвстного

10)Метод Гаусса.(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем:1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.Получим:, где d_1j = _1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1 d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.Пример. Решить систему методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4}.

11) Векторы, действия над ними.Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.Суммой векторов является вектор - Произведение -, при этом коллинеарен .Вектор сонаправлен с вектором ( ), если  > 0.Вектор противоположно направлен с вектором (), если  < 0.Линейные операции над векторами в координатах.Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда

12)Скалярное произведение векторов, его св-ва и вычисления. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos Свойства скалярного произведения: = ²; = 0, если  или = 0 или = 0. = ;(+) = + ;(m) = (m) = m();Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:;Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если 10- 5+ 6- 3 = 10, т.к..

13)Векторное произведение векторов. Его св-ва и вычисление. Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где  - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.Обозначается: или.



Свойства векторного произведения векторов:1) ;2) , если  или = 0 или = 0;3) (m)= (m) = m();4) (+ ) = +  ;5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то=6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3).

14)Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.

2)3)

4)5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен6)Если , , тоПример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.

S_осн = (ед²)Т.к. V = ; (ед)

15) Общее вычисление прямой на плоскостиОпределение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядкаАх + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:+ D = 0, где- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D₁ = 0 и