Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАДИ (ТУ)


КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ


Выполнил: Белоногов М.В.

Группа 4ВЭДС3

Проверил: Беляков Г.С.


Москва 1999-2000

Раздел 1.

Выбор оптимального маршрута поездки.


Постановка задачи:


Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А, позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице только один раз и характеризовался минимальными затратами времени на поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.


Порядок решения задачи:


  1. Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.


А 1 Б




4 В 2



Д 3 Г


Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.


пункт i А Б В Д 1 4

yi

0


28 13 17 8,32 9


16,64




Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю.

Затем пересчитываем величины yi используя правило:

Если yj + lij yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят.


yA + l4A=0+9=9 y4= y4=9

yA + lBA=0+13=13 yB= yB=13

yA + l1A=0+8,32=8,32 y1= y1=8,32


Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят.


y4 + lB4=9+7=16 yB=13

y4 + lД4=9+8=17 уД= yД=17


yВ + lДВ=13+12=25 yД=17

yВ + lБВ=13+15=28 уБ= yБ=28

yВ + l=13+9=22 у1=8,32


y1 + lВ1=8,32+10=18,32 yВ=13

y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 уБ=28 yБ=16,64


yД + l=8,32+17=25,32 y4=9

yД + lВД=17+12,32=29,32 yВ=13


yБ + lВБ=16,64+15,32=31 yВ=13

yБ + l=16,64+8=24,64 y1=8,32


Теперь проверим условие lij yi - yj для всех дуг сети.


l4A = у4 - уА 9=9-0

l у4 – уД 8,329-17

lД4 = уД – у4 8=17-9

lДВ уД – уВ 1217-13

lBA = yB - yA 13=13-0

l yB – yД 12,3213-17

l yB – yБ 15,3213-16,64

lB4 yB – y4 713-9

lB1 yB – y1 1013-8,32

lБВ уБ - уВ 1516,64-13

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0

l у1 – уВ 98,32-13

l у1 – уБ 88,32-16,64


Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие:

lij = yi - yj


Таковыми являются:

l4A = у4 - уА 9=9-0

lД4 = уД – у4 8=17-9

lBA = yB - yA 13=13-0

lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32

l = у1 – уА 8,32=8,32-0


Кратчайшие расстояния до пункта А равны:


пункт 4 Д Б 1 В
расстояние до А 9 17 16,64 8,32 13

Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов.


  1. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.



А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---

  1. Математическая модель задачи коммивояжера:


Найти минимальное значение целевой функции z

n+1 n+1

min z = lij * xij

i=1 j=1


при следующих ограничениях:


  • из каждого города i нужно уехать только один раз


n+1

 xij = 1 i=1, ......, n+1

j=1


  • в каждый город j нужно приехать только один раз:


n+1

 xij = 1 j=1, ......, n+1

i=1


  • переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1,

1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j

0 - в противном случае


  • решение есть простой цикл


  1. Решение задачи:



А Б В Г Д
А --- 16 13,32 --- 17,64
Б 16,64 --- 15 21 ---
В 13 15,32 --- 15 12,32
Г --- 21,64 15,32 --- 16
Д 17 --- 12 16,32 ---

Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д


Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент.

В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты:


А – Б – Г – Д – В – А


min z = 16+21+16+12+13 = 78


Раздел 2.

Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ).


Постановка задачи:

В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять:

B1 = 50.000 т

B2 = 60.000 т

B3 = 45.000 т

B4 = 70.000 т


Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час.

Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными.


Затраты на приготовление аб, руб


мощность АБЗ

Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд

т/час тыс. т/год 1 2 3 4
10 18 484 489 495 481
25 45 423 428 435 420
50 90 405 410 416 401

Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб


Пункт размещения Зона-потребитель
1 28,3 60,3 45,3 90,3
2 61,3 30,3 93,3 48,3
3 50,3 95,3 33,3 62,3
4 99,3 54,3 65,3 36,3

Математическая модель транспортной задачи:


m n

min z = Cij * xij

i=1 j=1


Ограничения:


n

  •  xij = ai i=1, ......, m

j=1

весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю.


m

  •  xij = bj j=1, ......, n

i=1

спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен


  • xij 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n

xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю


Транспортная таблица:


Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=135

Ui

Ki


433,3

440,3 465,3

449,3 450,3

437,3 495,3

0

X1=90

50


40 0 5/9

433,3 471,3

440,3

449,3 503,3

437,3 458,3

0

X2=90


60

30 0 6/9

433,3 466,3

440,3 511,3

449,3

437,3 478,3

0

X3=90



45
45 0 Ѕ

433,3 500,3

440,3 455,3

449,3 466,3

437,3 0

X4=90




70 20 0 7/9

Vj

433,3 440,3 449,3 437,3 0


Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя:

Вф= аi - bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год


В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kpi + Cij


С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij.


Проверяем план на вырожденность:

m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным.


Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + Cij).


Проверяем план на оптимальность:

  • число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1

  • для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб.

  • для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство :

Ui + Vj Сpi + E*Kpi + Cij


Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи.


Определяем значения коэффициентов интенсивности.


Ki = xij / xi


 xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям

xi – мощность i-го АБЗ


Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить.


Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка.


Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.


Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=90

Ui

Ki


433,3

424,3 465,3

450,3

421,3 495,3

-16 0



X1=90

50
40

-16 1

449,3 471,3

440,3

466,3 503,3

437,3 458,3

0

X2=90


60

30 0 6/9

449,3 485,3

440,3 530,3

466,3 468,3

437,3 497,3

0

X3=45





45 0 0

449,3 500,3

440,3 455,3

466,3 437,3 0

X4=90



5 70 15 0 15/18

Vj

449,3 440,3 466,3 437,3 0


Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.


Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki


433,3

439,3 465,3

450,3

421,3 495,3

-18 0



X1=90

50
40

-16

452,3 489,3

458,3

469,3 521,3

440,3 476,3

1 0



X2=45


45 _

+ 3

451,3 485,3

457,3 530,3

468,3

439,3 497,3

0

X3=45



0 +
_ 45 2

449,3 500,3

455,3 466,3 437,3

-2 0



X4=90


15 + 5 _ 70
0

Vj

449,3 455,3 466,3 437,3 -2


Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj Сpi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить.

Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.


Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki


433,3

440,3 465,3

450,3

422,3 495,3

-18 0



X1=90

50
40

-18 1

451,3 489,3

458,3

468,3 521,3

440,3 476,3

0

X2=45


40

5 0 8/9

451,3 485,3

458,3 530,3

468,3

440,3 497,3

0

X3=45



5
40 0 1/9

448,3 500,3

455,3

465,3 466,3

437,3

-3 0



X4=90


20
70
-3 1

Vj

451,3 458,3 468,3 440,3 0


План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.


Мощность АБЗ Спрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=18

Ui

Ki


433,3

439,3 465,3

450,3

421,3 495,3

-78 0



X1=90

50
40

-16 1

452,3 489,3

458,3

469,3 521,3

440,3 476,3

-59 0



X2=45


45


3 1

511,3 545,3

517,3 590,3

528,3

499,3 557,3

0

X3=18



0
18 62 0

449,3 500,3

455,3 466,3 437,3

-62 0



X4=90


15 5 70
0 1

Vj

449,3 455,3 466,3 437,3 -62


План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим.


Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.


Вариант размещения Мощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год

Значение целевой функции, zi, тыс.руб.


М1

М2

М3

М4


1 50 60 45 70 98912,5
2 90 60 0 75 99037,5
3 90 40 5 90 100067,5
4 -наилучший 90 45 0 90 100072,5

10