Алгебра и Начало анализа
border="0" />,





Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
Функция
|
Аргумент
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin
|
cos
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos
|
-cos
|
-sin
|
sin
|
cos
|
sin
|
-sin
|
-cos |
-cos |
-sin
|
sin
|
cos
|
cos
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
-ctg
|
-tg
|
tg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
tg
|
-tg
|
-ctg
|
ctg
|
Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать следующие правила:
a) при переходе от функций углов,
к функциям угла
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот;
при переходе от функций углов,
к функциям угла
название функции сохраняют;
б) считаяострым углом (т. е.
), перед функцией угла
ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов
,
,
.
Все
вышеприведенные
формулы можно
получить, пользуясь
следующим
правилом:
Любая
тригонометрическая
функция угла
90°n +
по
абсолютной
величине равна
той же функции
угла
,
если число n -
четное, и дополнительной
функции, если
число n - нечетное.
При этом, если
функция угла
90°n +
.
положительна,
когда
-
острый угол,
то знаки обеих
функций одинаковы,
если отрицательна,
то различны.
№ 16
Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на уголи на угол
(рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и
. Пусть координаты точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и
. По определению скалярного произведения векторов:
= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведениечерез тригонометрические функции углов
и
. Из определения косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos, y1 = R sin
, х2 = R cos
, y2 = R sin
.
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:= R2cos
cos
+ R2sin
sin
= R2(cos
cos
+ sin
sin
).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:=
cos
BOC = R2cos
BOC.
Угол ВОС между векторамии
может быть равен
-
(рис.1),
- (
-
) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
BOC = cos (
-
). Поэтому
= R2 cos (
-
).
Т.к.равно также R2(cos
cos
+ sin
sin
), то
cos(-
) = cos
cos
+ sin
sin
.
cos(+
) = cos(
- (-
)) = cos
cos(-
) + sin
sin(-
) = cos
cos
- sin
sin
.
Значит,
cos(+
) = cos
cos
- sin
sin
.
Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin(+
) = cos(
/2 - (
+
)) = cos((
/2 -
) -
) = cos(
/2 -
) cos
+ sin(
/2 -
) sin
= sin
cos
+ cos
sin
.
Значит,
sin(+
) = sin
cos
+ cos
sin
.
sin(-
) = sin(
+ (-
)) = sin
cos(-
) + cos
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
.
Значит,
sin(-
) = sin
cos
- cos
sin
.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы
сложения позволяют
выразить sin 2,
cos 2
,
tg 2
,
ctg 2
через тригонометрические
функции угла
.
Положим
в
формулах
sin(
+
)
= sin
cos
+ cos
sin
,
cos(
+
)
= cos
cos
- sin
sin
,
,
.
равным
.
Получим тождества:
sin
2
= 2 sin
cos
;
cos
2
= cos2
-
sin2
=
1 - sin2
=
2 cos2
-
1;
;
.
№ 18
Формулы половинного аргумента
Выразив правую часть формулы cos 2
= cos2
- sin2
через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2= 1 - sin2
, cos 2
= 2 cos2
- 1.
Если в данных соотношениях положить=
/2, то получим:
cos= 1 - 2 sin2
/2, cos 2
= 2 cos2
/2 - 1. (1)
Из формул (1) следует, что
(2),
(3).
Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
(4).
В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол
/2.
Полезно знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму
и разность
синусов или
косинусов можно
представить
в виде произведения
тригонометрических
функций. Формулы,
на которых
основано такое
преобразование,
могут быть
получены из
формул сложения.
Чтобы
представить
в виде произведения
сумму sin
+
sin