Алгебра и Начало анализа

Алгебра и начала анализа.
1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.	Ответ
2. Квадратичная функция y = ax² + bx + c, её свойства и график.	Ответ
3. Функция y = k/x, её свойства и график, график дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).	Ответ
4. Показательная функция y = a^x, её свойства и график.	Ответ
5. Логарифмическая функция y = log_ax, её свойства и график.	Ответ
6. Функция y = sin(x), её свойства и график.	Ответ
7. Функция y = cos(x), её свойства и график.	Ответ
8. Функция y = tg(x), её свойства и график.	Ответ
9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.	Ответ
10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов арифметической прогрессии.	Ответ
11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.	Ответ
12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, sin(x) < a.	Ответ
13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, cos(x) < a.	Ответ
14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) < a.	Ответ
15. Формулы приведения (с выводом).	Ответ
16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов (с доказательством).	Ответ
17. Тригонометрические функции двойного аргумента.	Ответ
18. Тригонометрические функции половинного аргумента.	Ответ
19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с доказательством).	Ответ
20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.	Ответ
21. Логарифм произведения, степени, частного.	Ответ
22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический смысл.	Ответ
23. Правила вычисления производной.	Ответ

Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k 0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где х - независимая переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а 0.
Графиком квадратичной функции является парабола.
Свойства функции y = ax^{2(частный
случай)} при а > 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке (- ; 0] и возрастает в промежутке [0; + ).
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции [0; + ).
Свойства функции y = ax² при а < 0.
1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. График функции симметричен относительно оси Oy.
4. Функция убывает в промежутке [0; + ) и возрастает в промежутке (- ; 0].
5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений функции (- ; 0].
И, так, график функции y = ax² + bx + c есть парабола, вершиной которой является точка (m; n), где m = , n= . Осью симметрии параболы служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 - вниз.

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности.

Область определения функции - есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е. .
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = a^x, где а - некоторое положительное число, не равное еденице, называется показательной.
1. Функция y = a^x при а>1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то a^x > 1;
е) если х < 0, то 0< a^x <1;
2. Функция y = a^x при 0< а <1
а) область определения - множество всех действительных чисел;
б) множество значений - множество всех положительных чисел;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0< a^x <1;
е) если х < 0, то a^x > 1.

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = log_a x называют логарифмической функцией с основанием а.
Свойства функции y = log_a x при a>1:
а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция возрастает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0a x < 0;
е) если x > 1, то log_a x > 0.
Свойства функции y = log_a x при 0а) D(f) = R+;
б) E(f) = R;
в) функция убывает;
г) если x = 1, то log_a x = 0;
д) если 0 < x < 1, то log_a x > 0;
е) если x > 1, то log_a x < 0.

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin ).

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех ;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
sin(x) = 0 при x = ;
sin(x) > 0 для всех ;
sin(x) ;
функция возрастает на ;
функция убывает на .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos )

область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех ;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
cos(x) = 0 при ;
cos(x) > 0 для всех ;
cos(x) > 0 для всех ;
функция возрастает на ;
функция убывает на

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg ).

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
tg(x) = 0 при х = ;
tg(x) > 0 для всех ;
tg(x) ;
функция возрастает на .

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg )

область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом ;
ctg(x) = 0 при x = ;
ctg(x) > 0 для всех ;
ctg(x) ;
функция убывает на .

Ответ № 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а₂ - а₁ = а₃ - а₂ = ... = a_k - a_k-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а_n), достаточно знать ее первый член а₁ и разность d.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. (1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a_n = a₁ + d(n-1). (2)
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид: (3)
Если в формулу (3) подставить вместо а_n его выражение по формуле (2), то получим соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂:b₁ = b₃:b₂ = ... = b_n:b_n-1 = b_n+1:b_n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q.
Если q > 0 (), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. (1)
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: (2)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид: , (3)
Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение. , (4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогресси при

Пусть (x_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где и . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при .
Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула .

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

формула для корней уравнения sin(x) = a, где , имеет вид:
Частные случаи:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
формула для корней уравнения sin²(x) = a, где , имеет вид: x=

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х = ;
sin(x) = -1, если x = >;
sin(x) > 0, если ;
sin(x) .

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

Формула для корней уравнения cos(x) = a, где , имеет вид: .
Частные случаи:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Формула для корней уравнения cos²(x) = a, где , имеет вид: .

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x)
Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если ;
cos(x) = -1, если x = ;
cos(x) = 1, если x = ;
cos(x) > 0, если ;
cos(x) > 0, если .

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: .
Частные случаи:
tg(x) = 0, x = ;
tg(x) = 1, ;
tg(x) = -1, .
Формула для корней уравнения tg²(x) = a, где , имеет вид:

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x)
Важно знать, что:
tg(x) > 0, если ;
tg(x) ;
Тангенс не существует, если .

№ 15

Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов ,