Алгебра и Начало анализа
Алгебра и начала анализа. |
|
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
|
Ответ |
Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа, называется линейной.
Областью определения линейной функции служит множество R всех действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых значениях х.
График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения графика, очевидно, достаточно двух точек, если k
0.
Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного переноса графика функции y = kx.
Ответ
№2. Опр.
Квадратичной
функцией называется
функция, которую
можно задать
формулой вида
y = ax2
+ bx + c, где х - независимая
переменная,
а, b и с - некоторые
числа, причем
а
0.
Графиком
квадратичной
функции является
парабола.
Свойства
функции y = ax2(частный
случай)
при а > 0.
1. Если
х = 0, то y = 0. График
функции проходит
через начало
координат.
2.
Если х
0,
то y > 0. График
функции расположен
в верхней
полуплоскости.
3.
График функции
симметричен
относительно
оси Oy.
4. Функция
убывает в промежутке
(-
;
0] и возрастает
в промежутке
[0; +
).
5.
Наименьшее
значение функция
принимает при
х = 0. Область
значений функции
[0; +
).
Свойства
функции y = ax2
при а < 0.
1. Если
х = 0, то y = 0. График
функции проходит
через начало
координат.
2.
Если х
0,
то y < 0. График
функции расположен
в нижней полуплоскости.
3.
График функции
симметричен
относительно
оси Oy.
4. Функция
убывает в промежутке
[0; +
)
и возрастает
в промежутке
(-
;
0].
5. Наименьшее
значение функция
принимает при
х = 0. Область
значений функции
(-
;
0].
И, так, график
функции y = ax2
+ bx + c есть парабола,
вершиной которой
является точка
(m; n), где m =
,
n=
.
Осью симметрии
параболы служит
прямая х = m, параллельная
оси y. При а > 0 ветви
параболы направлены
вверх, при a < 0 -
вниз.
Ответ 3
Если
переменная
у обратно
пропорциональна
переменной
х, то эта зависимость
выражается
формулой
,
где
-
коэффициент
обратной
пропорциональности.
Область определения функции
- есть множество всех чисел, отличных от нуля, т. е.
.
Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь сколь угодно близко к ним приближается.
№
4. Опр.
Функция,
заданная формулой
y = ax,
где а - некоторое
положительное
число, не равное
еденице, называется
показательной.
1.
Функция y = ax
при а>1
а) область
определения
- множество
всех действительных
чисел;
б) множество
значений - множество
всех положительных
чисел;
в) функция
возрастает;
г)
при х = 0 значение
функции равно
1;
д) если х > 0, то
ax
> 1;
е) если х < 0, то
0< ax
<1;
2. Функция y
= ax
при 0< а <1
а) область
определения
- множество
всех действительных
чисел;
б) множество
значений - множество
всех положительных
чисел;
в) функция
убывает;
г) при
х = 0 значение
функции равно
1;
д) если х > 0, то
0< ax
<1;
е) если х < 0, то
ax
> 1.
№5.Опр.
Функцию, заданную
формулой y = loga
x называют
логарифмической
функцией с
основанием
а.
Свойства
функции y = loga
x при a>1:
а) D(f) = R+;
б)
E(f) = R;
в) функция
возрастает;
г)
если x = 1, то loga
x = 0;
д) если 0
е) если x > 1, то
loga
x > 0.
Свойства
функции y = loga
x при 0а) D(f) = R+;
б)
E(f) = R;
в) функция
убывает;
г) если
x = 1, то loga
x = 0;
д) если 0 < x < 1, то
loga
x > 0;
е) если x > 1, то
loga
x < 0.
№6. Опр.
Отношение
катета прямоугольного
треугольника,
противолежащего
острому углу,
к гипотенузе
называется
синусом этого
угла (обозначается
sin
).
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех
;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
sin(x) = 0 при x =
;
sin(x) > 0 для всех
;
sin(x)
;
функция возрастает на
;
функция убывает на
.
№
7.Опр.
Отношение
катета прямоугольного
треугольника,
прилежащего
к острому углу,
к гипотенузе
называется
косинусом этого
угла (обозначается
cos
)
область определения - множество всех действительных чисел;
множество значений - [-1; 1];
функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех
;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
cos(x) = 0 при
;
cos(x) > 0 для всех
;
cos(x) > 0 для всех
;
функция возрастает на
;
функция убывает на
№8.Опр.
Отношение
катета, противолежащего
острому углу
прямоугольного
треугольника,
к катету, прилежащему
к этому углу,
называется
тангенсом
(обозначается
tg
).
область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
tg(x) = 0 при х =
;
tg(x) > 0 для всех
;
tg(x)
;
функция возрастает на
.
№9.Опр.
Отношение
катета, прилежащего
острому углу
прямоугольного
треугольника,
к катету, противолежащему
к этому углу,
называется
котангенсом
(обозначается
ctg
)
область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
;
множество значений - вся числовая прямая;
функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
функция периодическая с наименьшим положительным периодом
;
ctg(x) = 0 при x =
;
ctg(x) > 0 для всех
;
ctg(x)
;
функция убывает на
.
Ответ № 10
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать ее первый член а1 и разность d.
Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
(1)
Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-1). (2)
Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
(3)
Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2), то получим соотношение
Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q.
Если q > 0 (
), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
(1)
Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
(2)
Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
,
(3)
Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение.
,
(4)
Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.
Сумма
бесконечной
геометрической
прогресси при
Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где
и
. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию
, называется предел суммы n первых ее членов при
.
Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула
.
№ 12
Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
формула для корней уравнения sin(x) = a, где
, имеет вид:
Частные случаи:sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
формула для корней уравнения sin2(x) = a, где
, имеет вид: x=
Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их знакопостоянства.
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y = sin(x).
sin(x) = 0 если х =;
sin(x) = -1, если x =>;
sin(x) > 0, если;
sin(x).
Ответ № 13
Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
Формула для корней уравнения cos(x) = a, где
, имеет вид:
.
Частные случаи:
cos(x) = 1, x =;
cos(x) = 0,;
cos(x) = -1, x =Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где
, имеет вид:
.
Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x)
Важным моментом является знание, что:
cos(x) = 0, если;
cos(x) = -1, если x =;
cos(x) = 1, если x =;
cos(x) > 0, если;
cos(x) > 0, если.
№ 14
Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид:
.
Частные случаи:
tg(x) = 0, x =;
tg(x) = 1,;
tg(x) = -1,.
Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где
, имеет вид:
Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x)
Важно знать, что:
tg(x) > 0, если;
tg(x);
Тангенс не существует, если.
№ 15
Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов
,