Разработка методов анализа деформаций подземных сооружений

height="79" border="0" />(21)

Разложим уравнение (21) в ряд Тейлора и, полагая, что искомые поправки достаточно малы, ограничиваясь первыми членами разложения, с учетом (19) и (20) при α > βi получим:

(22)

а при α < βi:

(23)

Введем обозначения: при α > βi:

при α < βi:

остальные коэффициенты остаются без изменений.

С учетом принятых обозначений условные уравнения примут вид:

. (24)

Таблица 1
№ п/п	βi	Si, см	φi
1	0є00'00"	188,5	159є56'38"
2	30є00'00"	209,7	129є56'38"
3	60є00'00"	234,7	99є56'38"
4	90є00'00"	266,0	69є56'38"
5	120є00'00"	302,8	39є56'38"
6	150є00'00"	323,8	90є56'38"
7	180є00'00"	318,0	20є03'22"

Измеренные значения углов βi и расстояний от дальномера до стенок тоннеля Si, представлены в табл.1.

Зная проектное значение радиуса тоннеля R = 255 см, высоту пола h1 и высоту инструмента h2, можно вычислить приближенное значение величины

: .

В нашем случае h1 + h2 = 232 см, следовательно, = 23 см. В соответствии с ранее принятым расположением осей координат, величину вычислим по горизонтальным расстояниям S1 и S7:

. (25)

Из табл.1 находим, что S1=188,5 см, S7=318,0 см, следовательно,

=64,8 см.

По приближенным координатам оси инструмента вычисляется угол :

и углы .

Затем вычисляются коэффициенты аij. по приведенному выше алгоритму.

Известно, что деформации колец тоннеля – величины сравнительно малые, и в первом приближении примем со средней квадратической ошибкой 3 – 4 см. На примере расчета далее показано, что такой подход позволяет вычислить необходимые деформационные характеристики, однако у него имеются и некоторые недостатки. При уравнивании результатов измерений подобных схем измерений под условием (8), поправки к приближенным отклонениям фактического положения стенок тоннеля от окружности, по сути, являются собственно отклонениями, так как принято, что . Далее рассмотрен иной подход к обработке результатов измерений.

По приближенным координатам оси инструмента вычислим угол

: и углы, которые отражены в табл.1 (φi).

Найдем невязки li по формуле:

и затем представим их в виде матрицы L.

Составим матрицу обратных весов, используя средние квадратические ошибки, , где элементами симметричной диагональной матрицы М размером 24Ч24 являются следующие средние квадратические ошибки: mx,y = 3 см, mΔ= 3 см, mS = 0,3 см, mβ = 20", mR = 3 см.

Вектор коррелат рассчитывается по формуле:

.

Вектор поправок найдем по формуле: .

Известно, что деформации колец тоннеля – величины сравнительно малые, и в первом приближении примем Δi = 0 со средней квадратической ошибкой 3 – 4 мм. Получив поправки V, можно найти фактическое положение стенок и радиуса тоннеля, по формулам (15). В итоге получен вектор поправок Vi (поправки в линейные величины выражены в сантиметрах, а в угловые – в секундах). После определения поправок в измеренные величины, найдено фактическое положение стенок и радиус тоннеля по формуле (15). (Численные значения в автореферате не приводятся).

Выполненный анализ точности результатов уравнивания показал, что величины деформаций колец тоннеля получены со средней квадратической ошибкой 3 мм, а координаты реального положения оси тоннеля – со средней квадратической ошибкой 1,9 мм, как и величина вероятнейшего радиуса.

Далее в диссертации разработан второй метод определения деформаций стенок тоннеля с одновременным вычислением вероятнейшей окружности. В данном методе рассмотрены результаты измерений полярных координат (углов и расстояний) с одной стоянки электронного тахеометра. В данном случае целесообразно представить функцию (10) в следующем виде:

. (26)

Равенство (26) будет удовлетворено лишь в случае, если все величины будут уравнены.

Измеренные величины представим в виде:

где волнистой чертой сверху отмечены измеренные, либо приближенно известные величины.

Величины деформаций в первом приближении известны , как величины малые, следовательно, поправки к ним будут собственно смещениями наблюдаемых точек от вероятнейшей кривой: .

Представим величины, характеризующие положение вероятнейшей окружности, в виде

где величины являются дополнительными неизвестными. В таком случае уравнение (26) имеет вид:

(27)

Полагая, что поправки к измеренным величинам и дополнительным неизвестным – величины малые, воспользуемся разложением в ряд Тейлора и приведем нелинейное уравнение (27) к линейному виду и введем обозначения:

(28)

где ; .

Введем обозначения:

С учетом принятых обозначений уравнение (28) представим в виде условных уравнений

,(29)

где невязки .

С учетом (19) и (20) уравнение (29) можно представить в виде:

,(30)

где при

:

а при :

Используя условные уравнения (30), составим первую целевую функцию метода наименьших квадратов:

. (31)

После дифференцирования из полученных производных сформируем уравнения поправок: . (32)

С учетом поправок, выраженных через коррелаты (32), условные уравнения (30) предстанут в виде:

. (33)

Для определения параметров вероятнейшей окружности из уравнения (33) сформируем вторую целевую функцию, преобразовав величину свободного члена li:

,(34)

где ,

откуда определим, при каких значениях и функция (34) будет иметь минимум

откуда получим:

(35)

С учетом поправок в измеренные величины, выраженных через коррелаты (32), и перегруппировки членов уравнений, окончательно получим:

(36)

Система уравнений (36) решается совместно с системой уравнений (33). Объединенную систему уравнений можно представить в виде:

где

По сути, этот метод является коррелатным методом с дополнительными неизвестными. Основное отличие его заключается лишь в том, что на значения дополнительных неизвестных наложено новое условие

.

По данной методике был обработан ранее приведенный пример. Оценка точности практически не изменилась, а поправки в измеренные стороны уменьшились, а величина выявленных деформаций увеличилась в среднем на 2 мм. Основное преимущество разработанного метода заключается в том, что для выполнения математической обработки результатов измерений используется стандартный алгоритм коррелатного метода с дополнительными неизвестными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие городского транспорта в Тегеране ведется активными темпами. К настоящему времени уже активно эксплуатируются линии современного метро, и в ближайшем будущем сеть метрополитена Тегерана будет существенно развита. Учитывая, что геологические условия в зоне строительства тоннелей являются сложными, проблема наблюдений за деформациями обделок тоннелей является важной и актуальной задачей.

Надежное определение положения колец тоннеля возможно лишь при высокоточных методах передачи координат и дирекционных углов в подземные геодезические сети. В связи с этим в диссертации автором разработана эффективная методика ориентирования сторон подземной полигонометрии методом двух шахт. При этом через стволы шахт передаются только координаты. При этом исключается трудоемкая операция передачи дирекционного угла к сторонам подземной полигонометрии. В диссертации выполнен подробный анализ точности как дирекционных углов, так и координат пунктов, который убедительно показал, что усовершенствованная методика ориентирования подземных геодезических сетей обеспечивает точность, необходимую как для строительства тоннелей, так и для изучения деформаций стен тоннелей.

Современные средства геодезических измерений, а именно, электронные тахеометры, позволяют выполнять высокоточные измерений в безотражательном режиме с точностью вполне удовлетворяющей точностным требованиям к определению деформаций колец тоннеля (2 – 5 мм). В связи с этим автором диссертации была поставлена научная задача: разработать математический аппарат эффективной разработки результатов измерений с возможностью объективной оценки точности результатов измерений. Автором составлена математическая модель, связывающая результаты измерений с деформационными характеристиками стенок тоннелей:

,

гдеX, Y – координаты центра тоннеля относительно точки стояния инструмента;

R – вероятнейший радиус тоннеля.

Учитывая, что определяемых неизвестных всего три, а результатов измерений значительно больше, появляется возможность использования метода наименьших квадратов для получения наиболее надежных значений искомых величин.

В диссертации рассмотрены два метода решения поставленной задачи. В первом случае удалось так преобразовать математическую модель формы тоннеля, что уравнивание и оценка точности свелись к коррелатному методу уравнивания. Для того чтобы более строго зафиксировать положение вероятнейшей окружности, уравнивание результатов измерений выполняется под двумя условиями:

– минимум суммы квадратов поправок в измеренные величины с учетом средних квадратических ошибок измерений и

–

минимум суммы квадратов уклонений наблюдаемых точек стенок тоннеля от вероятнейшей окружности. Как показали результаты практических расчетов, повышение точности измеряемых величин не является существенным, но это позволило ввести в обработку точностные характеристики измеренных величин и осуществить оценку точности искомых параметров, используя коррелатный метод с дополнительными неизвестными.

Разработанная методика обработки результатов измерений будет применена при анализе деформаций тоннелей метрополитена в Тегеране.

Публикации по теме диссертации:

Власенко Е.П., Хамид Фармарз Пур. Особенности ориентирования подземных геодезических сетей методом двух шахт. Изв. вузов. "Геодезия и аэрофотосъемка", № 1, 2007.

Клюшин Е.Б., Шлапак В.В., Власенко Е.П., Хамид Фармарз Пур. О некоторых особенностях обработки результатов измерений при решении современных геодезических задач. Материалы международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. М., 2004.