Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
полиномы и кривые распределения вероятностей" width="117" height="68" />,
где
и 
- некоторые постоянные, используем найденные
выше свойства функции 
для определения этих постоянных через данные
значения 
.
Выражения
для будет иметь вид:
.
Выражения
для коэффициентов 
будут следующими:
.
Вводя
для сокращения обозначение
через
, запишем
выражение для в таком виде:
.
Для
выражение будет иметь вид
.
Что
касается величин 
и 
, то они равны
соответственно
и 
.
Теперь
перейдем к определению коэффициентов 
в выражении
.
Для
получим
выражение
.
Это
выражение весьма упростится, если 
мы будем считать отклонениями данных значений
аргумента от его средней арифметической так, что 
. Тогда 
, а выражение
для 
будет иметь вид
.
Также
упростятся выражения для
и 
.
Функция
станет равной 
, функции 
определяются путем последовательных
подстановок выражений 
в формулы
.
При
помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда Чебышева
.
Оценка
результатов интерполирования производится при помощи среднего квадратического
отклонения данных значений интерполируемой функции от вычисленных по найденному
уравнению параболы.
Обозначим
сумму квадратов отклонений через 
. Тогда можно
написать
.
будет
равняться
,
а
выражать
рекуррентно через 
по формуле
.
Итак,
, 
, 
,
, 
, , ,
, 
, , 
, .
Мы
видим, что в зависимости от нашей весовой функции 
в разложении мы получим разные системы
ортогональных полиномов.
§ 2. Обобщение Грамма - Шарлье.
Пусть
по методу Пирсона найден вид кривой распределения вероятностей на соответствующем интервале. Теперь, для
представления в удобном для практического использования виде, запишем
полученную кривую в несколько иной форме. Для этого используем обобщение Грамма
– Шарлье, которое основывается на применении ортогональных полиномов Чебышева и
состоит в том, что кривая распределения вероятностей представима в виде
следующего разложения:
(4)
где
- есть к–ая производная функции . Здесь
полагаем, что
.
Таким
образом, мы получаем кривую распределения вероятностей теперь уже в виде 
.
Производные
функции мы можем представить в виде [3]
,
тогда
можем записать
где
функции 
должны удовлетворять следующему свойству:
если 
(5)
А
коэффициенты 
получаются из равенства (4) с помощью
домножения на любой из ортогональных полиномов и, интегрирования полученного равенства:
=
=
Отсюда
следует, что
.
На
практике в этом разложении мы используем только четыре первых члена, и
коэффициенты перед ними есть:
Коэффициенты
имеют четкий статистический смысл, а именно:
коэффициент 
, выраженный
через 
, отвечает за
асимметрию закона распределения, и коэффициент 
выраженный через 
- за эксцесс или дефект кривой распределения.
Свойство
(5) есть свойство ортогональности полиномов, т. е. 
по определению является системой ортогональных
полиномов, которая получена по способу Чебышева в предыдущем параграфе [3],
[5].
§ 3. Весовые функции и системы ортогональных
полиномов.
В
общей теории ортогональных полиномов известно, что система ортогональных
полиномов называется классической, если она ортогональна относительно весовой
функции, которая является решением дифференциального уравнения Пирсона [2],
[6]. То есть, здесь прослеживается связь между теорией классических
ортогональных полиномов и задачами математической статистики (нахождением
закона распределения вероятностей).
Полиномы
Чебышева - Эрмита.
Пусть
многочлен (2) не имеет корней, тогда уравнение Пирсона (1) после переноса
начала координат запишется в виде
,
тогда
решение этого уравнения запишется в виде
(6).
Линейным
преобразованием независимого переменного
эта
функция приводится с точностью до постоянного множителя 
к весовой функции многочленов Чебышева –
Эрмита, которая имеет вид
.
Поскольку
умножение весовой функции на постоянную практически не изменяет ортогональные
многочлены, то в формуле (6), как и в аналогичных нижеследующих формулах, не
нарушая общности, можно полагать 
. В данном
случае ортогональные многочлены с весом (6) выражаются через ортогональные
многочлены Чебышева – Эрмита 
по формуле
.
В
этом случае условие ортогональности запишется в виде:
если
Полиномы
Чебышева - Лагерра.
Пусть
теперь многочлен (2) имеет один корень. Тогда уравнение (1) представимо в виде
.
Тогда
его решение запишется в виде
.
Многочлены,
ортогональные с таким весом, можно рассматривать как обобщение многочленов
Чебышева – Лагерра, ортогональных с весом
.
Причем
и здесь можно выразить эти многочлены через многочлены Чебышева – Лагерра 
, а условие
ортогональности будет:
если
Полиномы
Якоби.
Предположим,
что многочлен (2) имеет два различных действительных нуля. Тогда 
, и уравнение
Пирсона (1) представимо в виде
,
где
и 
- некоторые постоянные и 
. Тогда
решение уравнения (1)
представимо
в виде
и
определяет некоторую систему ортогональных многочленов, которая линейным
преобразованием независимого переменного и умножением на постоянную сводится к
системе многочленов Якоби 
. Так как
весовая функция многочленов Якоби имеет вид
.
И
соответственно условие ортогональности будет иметь вид:
если
Многочлены
Чебышева I рода являются частным случаем многочленов Якоби, так как весовая
функция, относительно которой ортогональны эти многочлены, имеет вид:
и
получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров 
.
Многочлены
Чебышева II рода так же являются частным случаем многочленов Якоби, так как
весовая функция многочленов Чебышева II рода имеет вид
и
получается при подстановке в весовую функцию многочленов Якоби параметров 
.
Следует
так же отметить, что многочлены Лежандра являются частным случаем многочленов
Якоби, так как весовая функция многочленов Лежандра
и
есть частный случай весовой функции многочленов Якоби при 
.
Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения
вероятностей и программное обеспечение.
В
этой главе рассматриваются примеры нахождения кривых распределения по методу
кривых Пирсона с использованием теоретических исследований, рассмотренных в
первой и второй главах дипломной работы. Было написано программное обеспечение,
с помощью которого были получены и проинтерпретированы численные результаты.
§ 1. Примеры нахождения кривых распределения
вероятностей.
Рассмотрение
примеров заключалось в том, что было рассмотрено пятьдесят случайных выборок, а
далее были рассмотрены примеры выборок с заданным законом распределения.
Согласно рассмотренному ниже алгоритму были произведены соответствующие
вычисления, и по каждой выборке была построена кривая распределения
вероятностей. При проведении испытаний было получено, что кривая распределения
сорока семи из пятидесяти рассмотренных выборок есть кривая Пирсона первого
типа, которая определяется следующей формулой:
.
Здесь
нужно отметить разнообразие кривых Пирсона, делающее их применение очень
гибким. Это означает, что кривые распределения вероятностей первого типа при
различных значениях параметров 
и 
могут иметь различную форму.
Ниже
рассмотрено несколько примеров наиболее часто встретившихся форм кривой
распределения I типа.
Пример
1.
Рассмотрим
выборку: