Обробка результатів прямих багатократних рівно точних статистичних вимірювань

Хід роботи


Схема вимірювань та початкові дані.

Схема вимірювань:




Початкові дані:

номінальне значення частоти генератора – 270 Гц;

точність установки частоти генератора – ± 1,5%;

початковий статистичний ряд:


Табл. 1

Номер вимірювання

Значення частоти, Гц

 Номер вимірювання

Значення частоти, Гц
1 269,508 24 269,597
2 269,441 25 269,550
3 269,627 26 269,517
4 269,442 27 269,417
5 269,520 28 269,442
6 269,604 29 269,476
7 269,627 30 269,535
8 269,522 31 269,521
9 269,476 32 269,623
10 269,451 33 269,583
11 269,515 34 269,457
12 269,439 35 269,441
13 269,509 36 269,487
14 269,508 37 269,516
15 269,508 38 269,528
16 269,526 39 269,499
17 269,572 40 269,453
18 269,523 41 269,518
19 269,580 42 269,556
20 269,511 43 269,543
21 269,520 44 269,445
22 269,528 45 269,536
23 269,588

Обчислення оцінок основних статистичних характеристик.

Найчастіше на практиці описують оцінки таких характеристик:

оцінка середнього значення Ā:


Гц


Ā – характеризує найбільш очікуване значення фізичної величини.

2) оцінка середнього квадратичного відхилення результатів вимірювання від середнього значення:


Гц


S – міра розсіювання (розкиду) результатів вимірювань від середнього значення.

3) оцінка дисперсії розсіювання результатів вимірювань:

Гц2

4) оцінка коефіцієнта асиметрії:



A – характеризує несиметричність розподілу результатів вимірювань відносно середнього значення.

5) оцінка коефіцієнта асиметрії:


E – характеризує плосковершинність кривої розподілу.

Всі обчислення подаємо у вигляді таблиці:


Табл. 2

Номер вимірювання ai (ai – Ā) (ai – Ā)І (ai – Ā)і (ai – Ā)
1 269,508 -0,009 0,000081 -0,000000729 0,000000007
2 269,441 -0,076 0,005776 -0,000438976 0,000033362
3 269,627 0,110 0,012100 0,001331000 0,000146410
4 269,442 -0,075 0,005625 -0,000421875 0,000031641
5 269,520 0,003 0,000009 0,000000027 0,000000000
6 269,604 0,087 0,007569 0,000658503 0,000057290
7 269,627 0,110 0,012100 0,001331000 0,000146410
8 269,522 0,005 0,000025 0,000000125 0,000000001
9 269,476 -0,041 0,001681 -0,000068921 0,000002826
10 269,451 -0,066 0,004356 -0,000287496 0,000018975
11 269,515 -0,002 0,000004 -0,000000008 0,000000000
12 269,439 -0,078 0,006084 -0,000474552 0,000037015
13 269,509 -0,008 0,000064 -0,000000512 0,000000004
14 269,508 -0,009 0,000081 -0,000000729 0,000000007
15 269,508 -0,009 0,000081 -0,000000729 0,000000007
16 269,526 0,009 0,000081 0,000000729 0,000000007
17 269,572 0,055 0,003025 0,000166375 0,000009151
18 269,523 0,006 0,000036 0,000000216 0,000000001
19 269,580 0,063 0,003969 0,000250047 0,000015753
20 269,511 -0,006 0,000036 -0,000000216 0,000000001
21 269,520 0,003 0,000009 0,000000027 0,000000000
22 269,528 0,011 0,000121 0,000001331 0,000000015
23 269,588 0,071 0,005041 0,000357911 0,000025412
24 269,597 0,080 0,006400 0,000512000 0,000040960
25 269,550 0,033 0,001089 0,000035937 0,000001186
26 269,517 0,000 0,000000 0,000000000 0,000000000
27 269,417 -0,100 0,010000 -0,001000000 0,000100000
28 269,442 -0,075 0,005625 -0,000421875 0,000031641
29 269,476 -0,041 0,001681 -0,000068921 0,000002826
30 269,535 0,018 0,000324 0,000005832 0,000000105
31 269,521 0,004 0,000016 0,000000064 0,000000000
32 269,623 0,106 0,011236 0,001191016 0,000126248
33 269,583 0,066 0,004356 0,000287496 0,000018975
34 269,457 -0,060 0,003600 -0,000216000 0,000012960
35 269,441 -0,076 0,005776 -0,000438976 0,000033362
36 269,487 -0,030 0,000900 -0,000027000 0,000000810
37 269,516 -0,001 0,000001 -0,000000001 0,000000000
38 269,528 0,011 0,000121 0,000001331 0,000000015
39 269,499 -0,018 0,000324 -0,000005832 0,000000105
40 269,453 -0,064 0,004096 -0,000262144 0,000016777
41 269,518 0,001 0,000001 0,000000001 0,000000000
42 269,556 0,039 0,001521 0,000059319 0,000002313
43 269,543 0,026 0,000676 0,000017576 0,000000457
44 269,445 -0,072 0,005184 -0,000373248 0,000026874
45 269,536 0,019 0,000361 0,000006859 0,000000130

На практиці оцінюється значущість коефіцієнтів вимірювань.

Для цього обчислюємо дисперсії коефіцієнтів A і E:


,


Якщо виконується умова, що


і ,


то робиться висновок, що коефіцієнти незначущі, а значить ними можна знехтувати. В протилежному випадку коефіцієнти є значущі, а значить вони повинні бути враховані при виборі математичної моделі для опису розподілу результатів вимірювань.

Висновок: для нормального закону розподілу результатів вимірювань коефіцієнти A і E рівні нулю, тому якщо на практиці ми отримали А0 і Е0 або ними можна знехтувати, то з великою достовірністю можна говорити, що наші результати розподіляються за нормальним законом. В нашому випадку А і Е не дорівнюють нулю, тому, що ми маємо дуже мало вимірювань проте вони є незначущі (0,2271,049 і 0,7173,277), а значить ними можна знехтувати. Звідси слідує, що дійсно наші результати розподіляються за нормальним законом розподілу.

Грубі похибки та промахи повинні бути виявленні і відкинуті з результатів вимірювань. З цією метою використовується спеціальний статистичний критерій – критерій Стьюдента.

В роботі використовуємо критерій – правило трьох у.

Початковий статистичний ряд представимо у вигляді такого графіка:


статистичний коефіцієнт середній стьюдент

На графік наносимо середнє значення і межі (границі):

верхню Ā+3S;

нижню Ā-3S.

Висновок: грубих похибок і промахів не виявлено; початковий ряд є однорідним; приведемо його характеристики: n=45, Ā=269.517 Гц, S=0.055 Гц

Додатково перевіримо наявність грубих похибок використовуючи коефіцієнти Стьюдента. Для цього знаходимо на графіку максимальне і мінімальне значення і обчислюємо квантиль t1 і t2:



Для n = 45 при p = 0.98 tдоп. = 2,4


t1 tдоп., t2 tдоп.


За допомогою коефіцієнтів Стьюдента ми ще раз підтвердили, що грубі похибки і промахи відсутні, статистичний ряд є однорідним.

Експериментальний розподіл отримують у вигляді гістограми.

Порядок побудови гістограми:

однорідний ряд розміщуємо в порядку зростання;

обчислюємо розмах значень:


;


відрізок розділяємо на рівних інтервалів:


;


обчислюємо ширину інтервалу гістограми:


;


обчислюємо межі кожного інтервалу, результати записуємо у таблицю 3.


Табл. 3

Номер вимірювання Межі інтервалів nj pj
1 269,417 ч 269,447 7 0.155556
2 269,447 ч 269,477 5 0.111111
3 269,477 ч 269,507 2 0.044444
4 269,507 ч 269,537 19 0.422222
5 269,537 ч 269,567 3 0.066667
6 269,567 ч 269,597 5 0.111111
7 269,597 ч 269,627 4 0.088889

підраховуємо число попадання результатів вимірювань в кожен інтервал nj;

обчислюємо імовірності попадань результатів вимірювань в кожен інтервал ;

будуємо гістограму:

Для цього на кожному інтервалі будуємо прямокутник площа якого дорівнює pj.



Гістограма – це експериментальний аналог густини розподілу.

Крім гістограми є ще інші варіанти представлення експериментальних розподілів:

у вигляді полігону розподілу;

у вигляді функції накопичених частот.

Вибір математичної моделі проводиться з урахуванням:

вигляду гістограми;

факту, що в більшості випадків математичною моделлю виступає функція Гауса (нормальний закон розподілу).

Враховуючи сказане і вигляд гістограми вибір математичної моделі розпочинаємо з функції Гауса:

.


На практиці використовують нормований варіант задання нормального закону розподілу.

Умови нормування:

m = 0;

у = 1.

Після нормування функція Гауса має такий вигляд:



Гістограму також треба представити у нормованому вигляді. Тобто і .


Номер інтервалу Нормовані межі інтервалів

Експериментальні імовірності (рj)

Теоретичні імовірності (pj*)
1 -1,818 ч -1,273 0.15556 0,067
2 -1,273 ч -0,727 0.11111 0,132
3 -0,727 ч -0,182 0.04444 0,194
4 -0,182 ч 0,364 0.42222 0,214
5 0,364 ч 0,909 0.06667 0,176
6 0,909 ч 1,445 0.11111 0,109
7 1,445 ч 2 0.08889 0,05

,


Для вирішення цієї задачі використаємо критерій, який так і називається, критерій узгодженості.

Серед них найчастіше використовуються:

критерій Пірсона (критерій ч2);

критерій Колмогорова;

критерій щ2 та інші.

В роботі використовуємо критерій Пірсона.


pj

pj*

(pjpj*)

(pjpj*)2

(pjpj*)2/ pj*
0.15556 0.067 0.089 0.00792 0.118
0.11111 0.132 -0.021 0.00044 0.003
0.04444 0.194 -0.150 0.0225 0.116
0.42222 0.214 0.208 0.04326 0.202
0.06667 0.176 -0.109 0.01188 0.068
0.11111 0.109 0.002 0.000004 0.00004
0.08889 0.050 0.039 0.00152 0.03




∑ = 0.537

Величина служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.

Вибираємо довірчу імовірність .

Обчислюємо рівень значимості .

Обчислюємо число вільності , де k – кількість інтервалів гістограми .

За цими даними із таблиці розподілу Пірсона .

Висновок: математична модель (функція Гауса) не описує експериментальний розподіл, потрібно вибрати наступну математичну модель, наприклад, якщо експериментальний розподіл є симетричним трикутноподібну, або іншу.


Размещено на