Золотое сечение
Реферат
выполнила: ученица 8 класса МОУ гимназия №9 Вьюшина Вероника
Екатеринбург
2002
1.Введение.
Пропорция золотого сечения. Ф и φ.
"Геометрия
обладает двумя великими сокровищами.
Первое - это теорема Пифагора, второе -
деления отрезка в крайнем и среднем
отношении"
Иоганн Кеплер
Правильные
многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда.
Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду,
придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части,
то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер
(1471-1527гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит
теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный
из великого сочинения Птолемея "Альмагест".
Интерес Дюрера к построению правильных
многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и
готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке
крепостей.
Средневековые способы построения правильных
многоугольников носили приближенный характер, но были (или не могли не быть)
простыми: предпочтение отдавалось способам построения, не требующим даже
изменять раствор циркуля. Леонардо да Винчи также много писал о
многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы
построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами"
Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о
построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом способ
построения правильного пятиугольника, теоретически точный, как и все евклидовы
построения. Евклид не пытается разделить заданную дугу окружности на три равные
части, и Дюрер знал, хотя доказательство было найдено лишь в XIX веке, что эта задача неразрешима.
Предложенное Евклидом построение правильного
пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем
отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе
внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.
Точка В делит
отрезок АВЕ в среднем и крайнем отношении или образует золотое сечение, если
отношение большей части отрезка к меньшей равно отношению всего отрезка к
большей части.
Записанное в виде равенства отношений золотое
сечение имеет вид
АВ/ВЕ= АВ/АЕ
Если положить
АВ=а, а ВЕ=а/Ф так, чтобы золотое отношение было равно АВ/ВЕ=Ф, то получается
соотношение
Ф = 1+1/Ф
То есть Ф
удовлетворяет уравнению
Ф2- Ф-1=0
Это уравнение
имеет один положительный корень
Ф=(√5+1)/2=1.618034….
Заметим, что
1/Ф = (√5 -1 )/2, так как (√5-1)(√5+1) =5-1=4. За 1/Ф принято
считать φ=0.618034….
Ф и φ -
прописная и строчная формы греческой буквы "фи".
Такое
обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия (V век до н. э.) Фидий руководил
строительством храма Парфенон в Афинах. В пропорциях этого храма многократно
присутствует число φ .
2.История
золотого сечения
Принято
считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор,
древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что
Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И
действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и
украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера
пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский
архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и
в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют
величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной
доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых
зафиксированы пропорции золотого деления.
Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих
детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого
квадрата были основанием для построения динамических
прямоугольников.
Платон (427...347гг. до н.э.) также знал о
золотом делении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и
эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в
частности, вопросам золотого деления.
Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам
и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если
произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные
выступы фасада. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались
архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе)
также заложены пропорции золотого деления.
В дошедшей до
нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в
"Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается
геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием
золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др..
В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам
"Начал" Евклида. Переводчик Дж.Кампано из Наварры (III в.) сделал к
переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились
в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху
Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в
связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в
архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских
художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал
писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и
Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука
Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между
Фибоначчи и Галилеем.
Лука Пачоли
прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога
Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе
Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509г. в Венеции была издана
книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными
иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была
восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой
пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную
суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух
святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына,
больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).
Леонардо да
Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил
сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и
каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении.
Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до
сих пор как самое популярное.
В то же время
на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер.
Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер
пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других,
которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать".
Судя по одному
из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.
Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела.
Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост
человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной
через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т.д.
Известен пропорциональный циркуль Дюрера.
Построение ряда
отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения
(возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
Если на прямой
произвольной длины, отложить отрезок m(φ), рядом откладываем отрезок M. На
основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции
восходящего и нисходящего рядов
В последующие
века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со
временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы
"вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто"
золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь золотого
сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования".
С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с
исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими
явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее
универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были
многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение
о пропорциях "математической эстетикой".
3.
Построение пропорции.
Здесь приводится построение точки Е,
делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.
|
|
Рис. 1. Деление
отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
|
Из точки В
восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С
соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС,
заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при
этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Именно эти
отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к.
каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.
Таким образом,
звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что
внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение
будет сохраняться.
Звездчатый пятиугольник называется
пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она
считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
В настоящее
время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое
сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с
натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пяти-лепестковые цветы плодовых деревьев
и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает
уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих
объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.
4.Второе золотое сечение.
Болгарский журнал
«Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О
втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое
отношение 44 : 56.
Такая пропорция
обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций
изображений удлиненного горизонтального формата.
Деление осуществляется
следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С
восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая
соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С
проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в
отношении 56:44.
|
|
Рис. 2. Построение второго золотого сечения
|
На рисунке
показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине
между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.
|
|
Рис. 3. Деление прямоугольника линией второго
золотого сечения
|
Таким образом
было доказано, что разделить отрезок в крайнем и среднем отношении можно не
единственным способом.
5. "Золотые" фигуры.
5.1.Золотой
прямоугольник:
Если построить квадрат со стороной АВ=а,
найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в
точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит
отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что по
теореме Пифагора
МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
В силу чего
АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ
Прямоугольник
АЕFD со сторонами
АЕ=φАD
называется золотым прямоугольником. Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно видеть, что
прямоугольник ВЕFС
также золотой, поскольку BC=a=φВЕ.
Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника
ВЕFС.
Можно ли
считать, что прямоугольник с отношением сторон, равным φ, выглядит
изящнее, чем прямоугольники с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или 5:7?
Чтобы ответить на этот вопрос, были проведены специальные эксперименты.
Результаты их не вполне убедительны, но все же свидетельствуют о некотором
предпочтении, отдаваемом золотому сечению. Впрочем, может ли прямоугольник сам
по себе быть захватывающе прекрасным или отталкивающе безобразным?
5.2.Золотой
треугольник:
Проводим прямую
АВ. От точки А
откладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через
полученную точку Р проводим перпендикуляр к
линии
АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки
Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А.
Отрезок dd1
откладываем на
линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого
сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого»
прямоугольника.
5.3. Золотой пятиугольник; построение
Евклида.
Замечательный
пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый
и звездчатый (рис.5).
|
|
Рис.6. Построение правильного пятиугольника и
пентаграммы.
|
Для построения
пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
Пусть О - центр окружности, А - точка на
окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА,
восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре
отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного
пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять
точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника
через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все иагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные
между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет
собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а
основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это прямоугольный
параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
Теперь рассмотрим доказательство,
предложенное Евклидом в «Началах».
Посмотрим
теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в
72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного
пятиугольника из центра описанной
окружности. Начнем с отрезка АВЕ,
разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги
окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С.
Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
Итак, пусть
АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то
угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что