Научно-исследовательская работа школьников в РБ

x2+5x - 4 + x2 - 5x+6-1= = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + 1.

Для m = 4

4x (x-1) +1 = 4x2 - 4x + 1 = (2x-1) (2x-1)


Ответ: f (g (x)) неприводим при всех целых mП{1; 4}.

2. Допустим, что m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 приводим, тогда


m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) f2 (x).


Как и выше, f1 (x) = f2 (x) =1 либо f1 (x) = f2 (x) = - 1 для всех x из {a1; …; an}. Если f1 (x) принимает значения и 1 и - 1, то в силу непрерывности многочлена, f1 (x) = 0 для некоторого x. Но тогда для этого x выполнено равенство


m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) f2 (x) = 0,


чего быть не может ни при одном натуральном m. Поэтому для определенности будем считать, что f1 (ai) = f2 (ai) =1 для всех i от 1 до n. (В случае, когда, f1 (ai) = f2 (ai) =-1 для всех i от 1 до n доказательство проводится аналогично) Как и в пункте 1, получаем


f1 (x) = tЧ (x-a1) … (x-an) +1;

f2 (x) = dЧ (x-a1) … (x-an) +1.


Отсюда,


m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 = f1 (x) Чf2 (x) = tЧdЧ (x-a1) 2… (x-an) 2+ (t+d) Ч (x-a1) … (x-an) +1.


Из равенства многочленов получаем m = tЧd и (t+d) Ч (x-a1) … (x-an) = 0. Последнее равенство выполнено при всех значениях x, поэтому из него следует, что t+d = 0, то есть t = - d. Откуда натуральное m = - t2. Противоречие показывает, что многочлен m (x-a1) 2… (x-an) 2+1 неприводим. Утверждение доказано.

3. Рассмотрим неприводимый многочлен ax2+bx+1. Допустим, дискриминант b2-4a<0, а многочлен aЧ (x-a1) 2… (x-an) 2 + bЧ (x-a1) … (x-an) +1 = f1 (x) Чf2 (x) приводим. Как и в пункте 2, учитывая, что при отрицательном дискриминанте многочлен не будет обращаться в 0, получаем:


f1 (x) = tЧ (x-a1) … (x-an) +1;

f2 (x) = dЧ (x-a1) … (x-an) +1.


Отсюда,


aЧ (x-a1) 2… (x-an) 2 + bЧ (x-a1) … (x-an) +1 =

= f1 (x) Чf2 (x) = tЧdЧ (x-a1) 2… (x-an) 2+ (t+d) Ч (x-a1) … (x-an) +1.

Из равенства многочленов получаем, что a = tЧd и b = t+d. Значит t и d являются корнями уравнения x2 -bx +a = 0. Но согласно предположению дискриминант этого уравнения b2-4a<0. Уравнение не имеет корней. Таким образом допущение не верно и при отрицательном дискриминанте многочлен aЧ (g (x)) 2+bЧg (x) +1 неприводим.


3.2 Пример 2: волнистые числа


Назовем девятизначное число волнистым числом первого типа, если



Например, число 162539581 волнистое число первого типа. Назовем девятизначное число волнистым числом второго типа, если



а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел первого и второго типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел первого и второго типа.

Назовем девятизначное число волнистым числом третьего типа, если



Назовем девятизначное число волнистым числом четвертого типа, если


а) Найдите количество девятизначных волнистых чисел третьего и четвертого типа.

б) Найдите формулу для вычисления количества волнистых п-значных чисел третьего и четвертого типа.

Предложите свои обобщения этой задачи и исследуйте их.

Решение

Лемма 1. Обозначим через f (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел первого типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2, g (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел второго типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда


и

Также, и


Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа первого типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (“<" или ”>”), дописывается каждому числу цифра, меньшая или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k-1 или от k+1 до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел первого типа начинающихся на цифру k1 и заканчивающихся на цифру k2.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел первого типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ().

Пусть , тогда по четности/нечетности i () определяем текущий знак “<” или “>”:

Если i-нечетное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше k2.

Если i-четное, то является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел первого типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше k2.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел второго типа.

Теорема 1. Количество n-значных волнистых чисел первого типа:



и количество n-значных волнистых чисел второго типа:

.


Составим таблицу некоторых значений f (n,k,k2)

k

0 1 0 0 0 0
1 1 8 44 276 1650
2 1 7 42 259 1561
3 1 6 39 235 1430
4 1 5 35 205 1260
5 1 4 30 170 1055
6 1 3 24 131 820
7 1 2 17 89 561
8 1 1 9 45 285
9 1 0 0 0 0

10 36 240 1410 8622

k

0 0 0 0 0
1 10032 60654 367422 2224299
2 9471 57309 347073 2101296
3 8651 52403 317253 1920984
4 7596 46067 278782 1688269
5 6336 38471 232715 1409487
6 4906 29820 180312 1092234
7 3345 20349 123003 745161
8 1695 10317 62349 377739
9 0 0 0 0

52032 315390 1908909 11559469

Составим таблицу некоторых значений g (n,k,k2)

k

0 1 0 0 0 0
1 1 1 9 45 285
2 1 2 17 89 561
3 1 3 24 131 820
4 1 4 30 170 1055
5 1 5 35 205 1260
6 1 6 39 235 1430
7 1 7 42 259 1561
8 1 8 44 276 1650
9 1 9 45 285 1695

10 45 285 1695 10317

k

0 0 0 0 0
1 1695 10317 62349 377739
2 3345 20349 123003 745161
3 4906 29820 180312 1092234
4 6336 38471 232715 1409487
5 7596 46067 278782 1688269
6 8651 52403 317253 1920984
7 9471 57309 347073 2101296
8 10032 60654 367422 2224299
9 10317 62349 377739 2286648

62349 377739 2286648 13846117

Ответ:

а) первого типа: 11559469; второго типа: 13846117


б)


Лемма 2. Обозначим через t (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел третьего типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2, r (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел четвертого типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2. Тогда


и

Также и


Доказательство. Рассмотрим n-значные волнистые числа третьего типа.

Нетрудно заметить, как они получаются. Берутся все n-1-значные волнистые числа и, в зависимости от текущего знака (”", ”<”, ”>", ””), дописывается каждому числу цифра, меньшая, равная или большая последней, т.е. чтобы найти количество n-значных волнистых чисел, заканчивающихся на k, надо найти сумму всех количеств n-1-значных чисел заканчивающихся на цифры от 0 до k, или от 0 до k+1, или от k+1 до 9, или от k до 9.Т. к. на каждом шаге мы корректно вычисляем волнистые числа, то нет необходимости знать всё число: все зависит от последней цифры.

Следовательно, можно составить рекуррентную формулу, которая будет корректно вычислять количество n-значных волнистых чисел третьего типа начинающихся на цифру k1 и заканчивающихся на цифру k2.

Рассмотрим рекуррентную формулу для волнистых чисел третьего типа.

Начальные её значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ().

Пусть , тогда по остатку от деления i-2 на 4 определяем текущий знак: ”", ”<”, ”>", ””:

Если (i-2) mod 4=0, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше либо равна k2.

Если (i-2) mod 4=1, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше k2.

Если (i-2) mod 4=2, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше.

Если (i-2) mod 4=3, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел третьего типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше либо равна k2.

Аналогично, выводится рекуррентное соотношение для волнистых чисел четвертого типа.

Теорема 2. Количество n-значных волнистых чисел третьего типа:



и количество n-значных волнистых чисел четвертого типа:


.


Составим таблицу некоторых значений t (n,k,k2)

k

0 1 0 0 0 0
1 1 9 36 240 990
2 1 8 28 196 826
3 1 7 21 154 665
4 1 6 15 115 510
5 1 5 10 80 365
6 1 4 6 50 235
7 1 3 3 26 126
8 1 2 1 9 45
9 1 1 0 0 0

10 45 120 870 3762

k

0 0 0 0 0
1 7722 28182 190740 796521
2 6412 23310 157926 659835
3 5131 18564 125922 526449
4 3906 14053 95449 399334
5 2771 9907 67382 282126
6 1766 6271 42711 178971
7 936 3300 22506 94380
8 330 1155 7887 33099
9 0 0 0 0

28974 104742 710523 2970715

Составим таблицу некоторых значений r (n,k,k2)

k

0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 10 45
2 1 2 3 29 126
3 1 3 6 56 235
4 1 4 10 90 365
5 1 5 15 130 510
6 1 6 21 175 665
7 1 7 28 224 826
8 1 8 36 276 990
9 1 9 45 330 1155

10 45 165 1320 4917

k

0 0 0 0 0
1 285 1155 9042 33099
2 810 3300 25806 94380
3 1531 6271 48982 178971
4 2406 9907 77289 282126
5 3396 14053 109502 399334
6 4499 18564 144486 526449
7 5586 23310 181236 659835
8 6732 28182 218922 796521
9 7887 33099 256938 934362

33099 137841 1072203 3905077

Ответ:

а) третьего типа: 2970715; четвертого типа: 3905077


б)


3. Используя метод рекуррентного соотношения для подсчёта количество волнистых чисел, можно составить рекуррентную формулу для любой конфигурации знаков ”<”,”>”,””,””,”=". Какой знак на текущем шаге вычисления рекуррентного соотношения можно легко определять по остатку от деления текущего i-2 () на количество различных знаков до повторения.

Например, выведем формулу для нахождения количества волнистых чисел типа:



Количество различных знаков до повторения - 3.

q (n,k1,k2) - количество n-значных волнистых чисел данного типа, начинающихся с цифры k1 и заканчивающиеся на цифру k2.

Начальные значения , т.е. есть только по одному однозначному волнистому числу, начинающемуся на i и заканчивающемуся на i ().

Пусть , тогда по остатку от деления i-2 на 3 определяем текущий знак:

Если (i-2) mod 3=0, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра меньше либо равна k2.

Если (i-2) mod 3=1, равно количеству i-1-значных волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра равна k2.

Если (i-2) mod 3=2, является суммой всех количеств i-1-значные волнистых чисел данного типа, которые начинаются на k1 и у которых последняя цифра больше либо равна k2.

В итоге получаем формулу:


и


Количеством n-значных чисел данного типа будет:



Составим таблицу некоторых значений q (n,k,k2)

k

0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 9 9 54 375 375 2475
2 1 8 8 52 356 356 2366
3 1 7 7 49 329 329 2205
4 1 6 6 45 295 295 1995
5 1 5 5 40 255 255 1740
6 1 4 4 34 210 210 1445
7 1 3 3 27 161 161 1116
8 1 2 2 19 109 109 760
9 1 1 1 10 55 55 385

10 45 45 330 2145 2145 14487

Заключение


Научно-исследовательская работа является важным этапом подготовки будущих научных кадров. Она открывает перед учащимися один из аспектов математики, столь же важный, сколь редко упоминаемый: математика предстает в этих задачах наукой, тесно связанной с другими; естественными науками, разновидностью "экспериментальной науки", в которой наблюдение (эксперимент) и аналогия могут привести к открытиям (этот аспект математики должен