Система фазовой автоподстройки частоты

Размещено на /

Введение

Радиопередающие устройства (РПдУ) применяются в сферах телекоммуникации, телевизионного и радиовещания, радиолокации, радионавигации. Стремительное развитие микроэлектроники, аналоговой и цифровой микросхемотехники, микропроцессорной и компьютерной техники оказывает существенное влияние на развитие радиопередающей техники как с точки зрения резкого увеличения функциональных возможностей, так и с точки зрения улучшения ее эксплуатационных показателей. Это достигается за счет использования новых принципов построения структурных схем передатчиков и схемотехнической реализации отдельных их узлов, реализующих цифровые способы формирования, обработки и преобразования колебаний и сигналов, имеющих различные частоты и уровни мощности.

Нелинейная модель системы фазовой автоподстройки частоты

Анализ линейной модели может дать полную информацию о работе САР в режиме малых отклонений от установившегося состояния. Однако для исследования таких явлений, как захват и срыв слежения, линейная модель непригодна. В этом случае необходимо обращаться к нелинейной модели. Так как нелинейная модель описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то стараются эту модель не усложнять. Поэтому в модели, как правило, учитываются нелинейные свойства только одного элемента.

Рис. 1

Рис. 2

Из всех систем радиоавтоматики самой распространенной является система фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ), представленная на рис. 1.Выходное напряжение фазового дискриминатора зависит от раз

ности фаз входных колебаний. Часто используется косинусоидальная дискриминационная характеристика фазового дискриминатора: Uфд = = Umфдcosj (рис. 2).

Рис. 3

Нелинейная модель системы ФАПЧ изображена на рис. 3. В этой модели фазо-вый дискриминатор отображается последовательным соединением вычитающего устройства, интегратора и нелинейного элемента в соответствии с его математическим описанием

,

где jн – начальная разность фаз,

Wн = wвх - wпг0 – начальная расстройка,

wпг0 – частота перестраиваемого генератора при нулевом управляющем напряжении.

Значение начальной разности фаз определяет знак обратной связи. Если 0<jн<p, то, как видно из рис. 2, тангенс угла наклона дискриминационной характеристики отрицательный и, следовательно, обратная связь положительна. При p<jн<2p обратная связь отрицательна. Значит, разность фаз в установившемся режиме jуст будет находиться в диапазоне (p,2p) или отличающемся от него на величину, кратную 2p. Начальная расстройка Wн определяет величину входного процесса интегратора и, следовательно, начальную скорость изменения разности фаз j.

Рассмотрим процессы в идеализированной системе ФАПЧ, для которой постоянные времени Тфнч и Тпг равны нулю. Модель идеализированной системы ФАПЧ представлена на рис. 4.

Рис. 4

В этой модели произведение UmфдКуптКпг, равное максимальному отклонению частоты перестраиваемого генератора, обозначено через Wу – полосу удержания. Полоса удержания – это максимальная начальная расстройка, которая компенсируется системой ФАПЧ. По этой модели составляется дифференциальное уравнение в операторной форме:

.

Учитывая, что р – оператор дифференцирования и рjн = 0, получаем:

связь фаза автоподстройка

. (1)

Система ФАПЧ в установившемся режиме поддерживает разность фаз входных колебаний постоянной. Следовательно, в установившемся режиме dj/dt = 0 и, как следует из уравнения (17), Wн - Wуcosjуст = 0. Отсюда разность фаз в установившемся режиме

jуст = arccos(Wн/Wу). (2)

Постоянство разности фаз в установившемся режиме означает, что wпг = = wвх. Режим, при котором расстройка в установившемся состоянии равна нулю, а разность фаз постоянна, называется режимом удержания.

Переходные процессы в системе можно исследовать, пользуясь фазовым портретом системы. Решение дифференциального уравнения (19) изображается на плоскости, декартовыми координатами которой являются искомая функция j и ее производная dj/dt. В любой момент времени состояние системы характеризуется определенными значениями разности фаз колебаний j и мгновенной расстройки dj/dt и на плоскости отображается точкой, которую называют изображающей. С течением времени j и dj/dt изменяются, и изображающая точка перемещается по плоскости. Траектория движения этой точки называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, построенных для различных начальных условий, образует фазовый портрет системы.

Рис. 5

Фазовый портрет идеализированной системы ФАПЧ строится по уравнению (19), которое теперь надо понимать как алгебраическое, связывающее независимую переменную j и зависимую переменную dj/dt. Линия фазовых траекторий представляет собой, как видно из уравнения (19), перевернутую косинусоиду с амплитудой Wу, приподнятую на величину начальной расстройки Wн. На рис.42 изображен фазовый портрет для Wн = Wу/2. Стрелками показано направление движения изображающей точки. Это направление определяется по формальному правилу: если производная функции положительна, то функция растет. В верхней полуплоскости dj/dt > 0 и изображающая точка движется в сторону возрастания j, а в нижней полуплоскости – в сторону уменьшения j, так как dj/dt < 0.

В фазовом портрете существуют точки, в которые входят и из которых выходят фазовые траектории. Эти точки называются особыми, они соответствуют состояниям равновесия. Особые точки, в которые входят фазовые траектории, называются устойчивыми особыми точками, и они соответствуют устойчивым состояниям равновесия. Заметим, что устойчивые особые точки находятся в том диапазоне разностей фаз, где, как мы отмечали ранее, обратная связь отрицательна.

Прослеживая движение изображающей точки, можно определить, как будут изменяться во времени разность фаз j (горизонтальная координата изображающей точки) и мгновенная расстройка dj/dt (вертикальная координата изображающей точки). Начальное состояние системы отображается точкой, находящейся на линии dj/dt = Wн. Так как начальная точка не находится на фазовой траектории (за исключением двух точек в интервале 2p), то возникает вопрос, как же точка попадет на фазовую траекторию. Обратимся к процессам, происходящим в идеализированной системе ФАПЧ. В идеализированной системе при ее замыкании мгновенно появляется напряжение на выходе фазового дискриминатора и мгновенно изменяется частота перестраиваемого генератора. Разность фаз при этом не успевает измениться и остается равной jн. Следовательно, изображающая точка переместится на фазовую траекторию по вертикальной линии. Например, если jн = p (точка 1 на рис. 5), то изображающая точка из своего начального положения 1 переместится по вертикальной линии на фазовую траекторию и далее будет двигаться по фазовой траектории к точке С. В установившемся ре-

Рис. 6

жиме разность фаз будет равна jуст2. Если jн = 0, то изображающая точка из своего начального положения 2 вертикально вниз перейдет на фазовую траекторию и будет двигаться по ней к устойчивой особой точке А. Строго говоря, то, что мы называем фазовой траекторией, представляет собой не одну траекторию, а бесконечное множество слившихся фазовых траекторий, соответствующих различным значениям jн.

Скорость движения изображающей точки по фазовой траектории непостоянна. Чем больше dj/dt, тем быстрее изменяется разность фаз j и быстрее движется изображающая точка. Другими словами, чем дальше от оси j находится изображающая точка, тем быстрее она движется. При приближении к горизонтальной оси скорость ее движения уменьшается до нуля.

Руководствуясь этим правилом, можно приближенно построить переходные процессы в системе (см. рис. 6). Пусть начальная разность фаз jн = p/2. Изображающая точка из своего начального положения (точка 3 на рис.5) будет двигаться по фазовой траектории вверх. При этом ее вертикальная координата dj/dt будет увеличиваться. В переходном процессе dj/dt – это тангенс угла наклона зависимости j(t). Следовательно, тангенс угла наклона будет расти, и j(t) будет изменяться с увеличивающейся крутизной. Крутизна будет расти до тех пор, пока изображающая точка не достигнет вершины фазовой траектории, то есть пока j не станет равным p. При дальнейшем движении изображающей точки dj/dt уменьшается и разность фаз изменяется с уменьшающейся крутизной. Мгновенная расстройка dj/dt сначала увеличивается от Wн до Wн+Wу, принимая максимальное значение при j = p, и затем уменьшается до нуля. Переходные процессы зависят от начальной разности фаз. Они показаны на рис.6 для jн = p (кривые 1) и для jн = 0 (кривые 2). При t = 0 мгновенная расстройка изменяется скачком.

С увеличением начальной расстройки фазовые траектории поднимаются, устойчивая и неустойчивая особые точки сближаются. При Wн=