������: �������������� �������� ����������� �������� ������ � ������������
��������: �������������� �������� ����������� �������� ������ � ������������ ������: �������� �� ���������� ���: ������ | ||
���. �������� �. �. ������� ��������������� �������. ������-���������� ��������������� ����������� ��������� ����� ������� ��� ���������� �������� ������������� � ������������� ������ ������������� �������� � ������������ �������� ������ ������� �������� ���������� �������� ��������������� ������� � ������� ������� ���������� �� ������ �������� ����������. �������������� ��������� �����������, ������������� �������� ���������� ����, ��������� ������ �. �. �����������, �. 3. ������ [1,2], �. �. ��������������� [3], �. �. �������� [4,5]. � ������ ������ [6] ���� ����� �������� ����������� �������� ������ � ������������ 1. ��������������� �������� �������� ����������� ��� ����������� ������������� ����������� � ����������. 1.1. ����� � � �������� ������������ ��� ����� �������������� ����� R, �+ � ����� � �. ����� �+ ���������� ����������, ���� ��������� ��������� �������: �� ≤ � Þ ||�|| ≤ ||y|| ��� ����� �, � Î �, ��� ������ � Î � � ������ e > 0 ���������� � Î �+ �����, ��� �� ≤ � � ||�|| ≤ (1+e) ||�||. ���������� ����� �+ ���������� ������ ����������, ���� ��������� ������� (2) ��� e = 0, �. �. (2') ��� ������ � Î � ���������� � Î �+ �����, ��� �� ≤ � � ||y|| = ||�||. ������������� ��������� ������ ���������� ������� �+ ������������ � ���������� (�, �+) Î (Â), ��. [1,2]. 1.2. ����� �� �������� ����� ������� ���������� ������ � ������������ ��������� ������������, ����������� ���������� ������������, ��������������, � ����� ������� ����������, �������� ���������: ����� X � �������� ������������, f Î X* � ������������ ����������� �������� ���������� �� X �����, ��� ||f|| = 1. ��� ������ aÎ (0,1] ��������� K(f,α):={xÎX: f(x) ≥ a||�||}. ���� � � ����������� ������������ ��� R, �� ��� ������ aÎ�, ||a|| = 1, ����� �(�, a) ����� ���: K(a, α) = {x Î X : (a, x) ≥ a ||x||}. ���� dim H > 1, �� ��� ������ � Î �, ||a|| = 1, ����� � (�, a) ������ ��������� � � ����� � ������ �����, ����� a = 1.3. �������, ��� ����� ���������� ������� � ������������� �������. ����� K(f, a) �������� ���������� ��� a = 1 ������ ���������� ������� f = (f1, f2,..., fn) ����� +1 ��� � 1; ��� ���� ������� 2n �������, ����������� ������������� �������� ������������, ��������� ���������� � ������� ������������ ������������ ��� a = 0,5 ���� �� ��������� (j-� ����������) ������� f = (f1, f2,..., fn) ����� �1, � ��� ��������� � ����; ��� ���� ������� 2n �������, ����������� ������������� �������� ������������, ��������� ���������� � ������� ������������ ������������ Kj = {� = (x1,x2,...,xn) : xj ≥ 1.4. ����� (�, �+) Î (Â). ��� ������ � Î � ��������� ����� |�| ��������� ��������� � Î � �����, ��� � x ≤ � � ||x|| = ||y||. ����� ������� ����� ��������� ���������� ����������� ������� �������� x. ������� X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| . ��������� �+ � �− ���������� ����������� ������������� (�������������� �������������) ������ �������� x. ���� � Î |�|, �.�. �x ≤ � � ||�|| = ||x||, �� ������� x+ = (� + x)/2, x− = (� � x)/2, |x| = x+ + x−. �� ����������� �������, ��� |x| ≥ � x, ������ x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||. 1.5. ����� �+ � ������������� ��������� ������������ (�, �+) Î (Â) ���������� ����������, ���� ��� ������ x Î � ���������� ������� �� Î �+, �� ������� ����������� ������� � ������� ���������� �� � �� �+, �. �. d(x, E+) = inf{||� � x|| : a Î E+} = ||�x � x||. ��������� ���� ����� �� ������������ �(�). 1.6. ��� ���������� ���������� �� ����� �� ������ ������������� ��������� ����������� �� [5]. ����� (�, �+) Î (Â) � � Î �+. ������� x+ Î �+ �������� ��������� � � ��������� ������ �+ ����� � ������ �����, ����� ���������� f Î �*+, ||f|| = 1, �����, ��� f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. � ���� ������ d(x, �+) = ||x-||. 1.7. ����� E � �������� ������������ ��� R �� ������ ���������� ��������� ������� �+. �������� x, � Î �+ ���������� �-������������ ��� �������������� �� ������ (������������ x 2. �������� �������� |�|, �+, �- ���������� ������������ K1 = {x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ |x2| + � + |xn|}. ��� ���������� ����� ��������� �� ����� ������ (1) � ������� ������������� ��������������. � ����������, ���� �� ������� ����, ����� ���������� ����� X = ������ ��������� |�|, �+, �- ��� ������������� �������� x = (x1, ..., xn) Î 2.1. ����� x1 = 0. ������ ������� ������, ������� ���������� �������� � � � ����� �� �� �����, �. �. � = (�1, �, yn) : y1 ≥ ������ ������ ��� �����������, ������� ������ �1 ≥ X. � ������ �������, �� �������� ��������� �����, ��� �1 ≤ X. ����� �1 = X,
2.2. ����� x1 > 0. � ���� ������ �������, ����������� ������� � Î |�|, ����� ���: ����������� �������� ��������� ����������, ��� X≤�1≤X + �1, �.�. �1 ���������� � ���� �1 = X + λ�1, ��� 0 ≤ λ ≤ 1. ��������������� ���������� �������� �1 � �������, �����: |xk| = |yk| + |yk − xk| ( �� ����� ��������� �������, ��� �k � �k � yk � ������ �����, ��� �������� � ��������� �������: ���� (xk − yk) > 0 � yk > 0, �� 0 < yk < xk ; ���� (xk − yk) < 0 � yk < 0, �� xk < yk < 0; ���� (�� � yk) = 0 � yk = 0, �� �k = �k = 0. �� ���� �������, ��� ������ ���������� �k ( ������� ���������, ������������ � ����������:
����, ��� x1 > 0 �����: ��� ��� ��� 2.3. ����� x1 < 0. �������, ����������� ������� � Î |�|, �� ���� ��� ����� ���: �������� ����������� ������ 2.2 ��������, ������� X ≤ �1 ≤ X � �1. � ���� ������ y1 = � + λ|x1|, ��� 0 ≤ λ ≤ 1. ���������� ��������������� �������� �1 � �������, ��������
������ �������: |xk| = |yk| + |yk + xk| ( ������ �������, ��� � yk � (xk + yk) � ������ �����. ����� ��������, ��� �k = �λkxk , 0≤λk≤1. ��� ���� ����, ��� �1 < 0 �����: ��� ��� ��� 2.4. ����� ������. ��� ������������� �������� � = (x1, ..., xn) � �������� ����������� ������ Kj (1) �����: ��� ��� ���
![]() 3. ���������� ���������� �� �������� �� ������ ����� ������� x ����������� ������ �1, �.�. �1 ≥ X. � ���� ������ d(x, K1) = 0, � ��������� ��������� ������ �������� �� ���. ����� ������� � ����������� ������ � �1, �.�. -�1 ≥ X. � ���� ������ �������� d(x, K1) = ||�||, � ��������� ��������� ������ �������� ����. ����� �1 = 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1. �������, ��� d(x, K1) = ||��||, � ��������� ��������� ������ �������� �+. �������� ��������� 2.2.13 [5], ��� ����� ���������� ����� ���������� f Î �*1 �����, ��� ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, ��� x+ � x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||. � �������� ������ ����������� ������� f=(1, �sgn x2, ...,�sgn xn). ��� ������ �������� ������ �Î�1 ����������� f(�)=a1 �
��������, ��� ||x�|| = d(x, K1) = || x-|| = 3.4. ����� X > �1 > 0. ������� λ = 0 � �������� 2.2, �������:
� ���� ������ ��������, ��� x+ � x- = x, || x+ + x-|| = ||x||. ������������ ���������� �� 3.3, �������:
�������, ��� � ���� ������������ ����������� ���������, ���������� � 2.2, � ���, ��� � ����� ��������, ��� d(x, K1) = ||x-|| = 3.5. ����� �1 < 0 � � �1 > X. ���� λ = 0 � �������� 2.3, �� ��������
������������� �������� x+ � x- = x � ||x+ + x-|| = ||x||, ������ f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, ��� f � ���������� �� 3.3. ����� �������, � ���� ������ d(x, K1) = ||x-|| = ����������� ����������� ����������, ��� ������ ���������� ����������� � ��� ������ Kj. 3.6. ������ ����������� ������������ ��������� ����������� 2.3 �� [6] � ���, ��� 4. �������� ��������� �(�) ������� x ����������� ������ �1. � ���� ������ ���������� d(x, K1) = ||x�|| = 0. ���� � = (a1, ..., �n) Î �(x), �� � Î �1 � ||� � x|| = 0, ������ �������, ��� � = x � M(x) = {x}. ������� � ����������� ������ ��1. � ���� ������ x1 ≤ �X � ���������� d(x, �1) = ||x||. ���� a = (a1, ..., �n) Î �(x), �� a1 ��������, ��� ��������� | xk � �k| + |�k| = |xk| ��� ������ � ����� ��������, ���
4.3. x1 = 0 � ������� � �� ����������� ������ �1. ����� � = (a1, ..., an) Î �(x). �� ����������� �(�) �������, ��� a1 ≥ � � ||� � x|| = = |xk −ak| + |ak| = |xk| ( ������� ����������� �����������, ���
4.4. ����� x1 > 0 � ������� x �� ����������� ������ K1. ���� � = (a1, ..., �n) Î �(x), �� ||a � x|| = ||x�|| = d(x, �1) = ��� ��� ��� a Î K1 , �� �1 ≥ ��� ��������, ��� (�k � xk) � xk � ������ �����, �. �. �k = akxk, ��� 0 ≤ ak ≤ 1 ��� ������ ����� �������, ��������� ��� �1 ����� ���: �1 = � ����� ��������, ��� ���� �1 > 0, ��
4.5. ����� x1 < 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1, �.�. �x1 < ���� � = (a1, ..., �n) Î �(x), �� ||a-x|| = ||x�|| = d(x, �1) = ��� ��� ������ a1= 5. �������� ��������� M(x)∩K1 ��������� ������ � ��������������� ��������� ������������� ������ �������� � ��������� ���������, �� ������� ����������� ���������� �� �������� �� ������. ����� ������� x ����������� ������ �1. � ���� ������ �(�) = {x}, � �+ = { ����� ������� x ����������� ������ ��1. ���� �Î �(x)∩�+, ��, �������� ������� 4.2 � 2.2, �������:
�� ����� ��������� �������, ��� 5.3. ����� x1 = 0 � ������� x �� ����������� ������. ���������������� ��������� 4.3 � 2.1, ������� �(�) ∩ �+ = �+. 5.4. ����� x1 > 0 � ������� x �� ����������� ������. ���� ������� ����������� �(�) ∩ �+ , �� ����������� ���������:
��� ����������� ������� ������ ��������� �����������, ���� λk �����, ��� λ = 0. � ���� ������ �(x)∩�+= 5.5. ����� x1 < 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1. ���� ������� ����������� �(�) ∩ �+ ,�� ����������� ���������:
��� ����������� ������� ������ ��������� �����������, ���� ������ ���������� ����� �. 3. �������� � ������ ������� � ������������� �������������. �������.: ���-�� ���, 1977. ����� �. 3. ����������� ������� ��������� ������� � ������������� �������������. �������.: ���-�� ���, 1978. �������������� �. �. ������������� ������� ����������� ���������. �.: ���������. 1962. �������� �. �., ������� �. �. �������� ���� ���������� ������� ������� � ������� �. �. ������������� �������� ������������ � �� ����������. �����������: �������, 1999. �������� �. �. � ��������� ���������� ������� ������� � ������������� |