������: �������������� �������� ����������� �������� ������ � ������������

��������: �������������� �������� ����������� �������� ������ � ������������
������: �������� �� ����������
���: ������

���. �������� �. �.

������� ��������������� �������.

������-���������� ��������������� �����������

��������� ����� ������� ��� ���������� �������� ������������� � ������������� ������ ������������� �������� � ������������ , ������������� ������� ���������� �������. ���������� ��������� ���������, �� ������� ����������� ������� � ������� ���������� �� �������� �� ������, � ����������� ������ � ���������� ����� ��������� � ���������� ������������� ������ ��������.

��������

������ ������� �������� ���������� �������� ��������������� ������� � ������� ������� ���������� �� ������ �������� ����������. �������������� ��������� �����������, ������������� �������� ���������� ����, ��������� ������ �. �. �����������, �. 3. ������ [1,2], �. �. ��������������� [3], �. �. �������� [4,5]. � ������ ������ [6] ���� ����� �������� ����������� �������� ������ � ������������ � ������� ��������� ��� ��������. ������ ������ ��������� ����������� ������������ ���������� ������� ������������ .

1. ��������������� ��������

�������� ����������� ��� ����������� ������������� ����������� � ����������.

1.1. ����� � � �������� ������������ ��� ����� �������������� ����� R, �+ � ����� � �. ����� �+ ���������� ����������, ���� ��������� ��������� �������:

�� ≤ � Þ ||�|| ≤ ||y|| ��� ����� �, � Î �,

��� ������ � Î � � ������ e > 0 ���������� � Î �+ �����, ��� �� ≤ � � ||�|| ≤ (1+e) ||�||.

���������� ����� �+ ���������� ������ ����������, ���� ��������� ������� (2) ��� e = 0, �. �.

(2') ��� ������ � Î � ���������� � Î �+ �����, ��� �� ≤ � � ||y|| = ||�||.

������������� ��������� ������ ���������� ������� �+ ������������ � ���������� (�, �+) Î (Â), ��. [1,2].

1.2. ����� �� �������� ����� ������� ���������� ������ � ������������ ��������� ������������, ����������� ���������� ������������, ��������������, � ����� ������� ����������, �������� ���������: ����� X � �������� ������������, f Î X* � ������������ ����������� �������� ���������� �� X �����, ��� ||f|| = 1. ��� ������ aÎ (0,1] ��������� K(f,α):={xÎX: f(x) ≥ a||�||}.

���� � � ����������� ������������ ��� R, �� ��� ������ a�, ||a|| = 1, ����� �(�, a) ����� ���:

K(a, α) = {x Î X : (a, x) ≥ a ||x||}.

���� dim H > 1, �� ��� ������ � �, ||a|| = 1, ����� � (�, a) ������ ��������� � � ����� � ������ �����, ����� a = [5].

1.3. �������, ��� ����� ���������� ������� � ������������� � l1 ��������� � ������� ������ ���������� ������� [5]. ������ ������ ��������� �� ��������� �������� ���� ���������� ������� �������, ���������� � [4].

�������. ����� K(f, a) �������� ���������� , n > l1 ������ ��� ���� ��������� aΠ(0,1]:

��� a = 1 ������ ���������� ������� f = (f1, f2,..., fn) ����� +1 ��� � 1; ��� ���� ������� 2n �������, ����������� ������������� �������� ������������, ��������� ���������� � ������� ������������ ������������ � ������������ ������� ������������� ���������;

��� a = 0,5 ���� �� ��������� (j-� ����������) ������� f = (f1, f2,..., fn) ����� �1, � ��� ��������� � ����; ��� ���� ������� 2n �������, ����������� ������������� �������� ������������, ��������� ���������� � ������� ������������ ������������ � �������

Kj = {� = (x1,x2,...,xn) : xj ≥ }. (1)

1.4. ����� (�, �+) Î (Â). ��� ������ � Î � ��������� ����� |�| ��������� ��������� � Î � �����, ��� � x ≤ � � ||x|| = ||y||. ����� ������� ����� ��������� ���������� ����������� ������� �������� x.

�������

X+ = ½ x + ½|X|, X− = −½ x + ½|X| .

��������� �+ � �− ���������� ����������� ������������� (�������������� �������������) ������ �������� x. ���� � Î |�|, �.�. �x ≤ � � ||�|| = ||x||, �� ������� x+ = (� + x)/2, x− = (� � x)/2, |x| = x+ + x−. �� ����������� �������, ��� |x| ≥ � x, ������

x = x+ − x−, |x| = x+ + x−, ||x+ - x−|| = ||x+ + x−||, ||x|| = |||x|||.

1.5. ����� �+ � ������������� ��������� ������������ (�, �+) Î (Â) ���������� ����������, ���� ��� ������ x Î � ���������� ������� �� Î �+, �� ������� ����������� ������� � ������� ���������� �� � �� �+, �. �.

d(x, E+) = inf{||� � x|| : a Î E+} = ||�x � x||.

��������� ���� ����� �� ������������ �(�).

1.6. ��� ���������� ���������� �� ����� �� ������ ������������� ��������� ����������� �� [5].

����� (�, �+) Î (Â) � � Î �+. ������� x+ Î �+ �������� ��������� � � ��������� ������ �+ ����� � ������ �����, ����� ���������� f Î �*+, ||f|| = 1, �����, ��� f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||. � ���� ������ d(x, �+) = ||x-||.

1.7. ����� E � �������� ������������ ��� R �� ������ ���������� ��������� ������� �+. �������� x, � Î �+ ���������� �-������������ ��� �������������� �� ������ (������������ x �), ���� ||x + λ�|| = ||x � λ�|| ��� ������ λ ≥ 0.

2. �������� �������� |�|, �+, �-

���������� ������������ , ������������� ���������� ������� ������� K(f,a), ��� a = 0,5 � ���������� f ����� ������ ����������, ������ �������, � ��������� ���������� �������:

K1 = {x = (x1, x2, ..., xn) : x1 ≥ |x2| + � + |xn|}.

��� ���������� ����� ��������� �� ����� ������ (1) � ������� ������������� ��������������. � ����������, ���� �� ������� ����, ����� ���������� ����� X = .

������ ��������� |�|, �+, �- ��� ������������� �������� x = (x1, ..., xn) Î. �������, ��� ������� ������ ���������� �������� � �� ������������� �� ������ ������������� � ������������� ����� ���������� � [6].

2.1. ����� x1 = 0. ������ ������� ������, ������� ���������� �������� � � � ����� �� �� �����, �. �. � = (�1, �, yn) : y1 ≥ , y ≥ � �, ||y|| = ||x||. ����� ������� ��������� ��������� �������:

������ ������ ��� �����������, ������� ������ �1 ≥ X. � ������ �������, �� �������� ��������� �����, ��� �1 ≤ X. ����� �1 = X, = 0, ������������� yk = 0 ��� ������ . �������� ��������� ������������� ������������ ������ �������� � � ��� ������������� � ������������� �����

,

,

.

2.2. ����� x1 > 0. � ���� ������ �������, ����������� ������� � Π|�|, ����� ���:

����������� �������� ��������� ����������, ��� X≤�1≤X + �1, �.�. �1 ���������� � ���� �1 = X + λ�1, ��� 0 ≤ λ ≤ 1. ��������������� ���������� �������� �1 � �������, �����: -|yk � xk|) ≥ ≥ �1(l � λ) = , � ������ �������, |�k| = |xk + (yk � xk)| ≥ ≥ |xk| � |yk � xk|. � ����� ��������:

|xk| = |yk| + |yk − xk| ().

�� ����� ��������� �������, ��� �k � �k � yk � ������ �����, ��� �������� � ��������� �������:

���� (xk − yk) > 0 � yk > 0, �� 0 < yk < xk ;

���� (xk − yk) < 0 � yk < 0, �� xk < yk < 0;

���� (�� � yk) = 0 � yk = 0, �� �k = �k = 0.

�� ���� �������, ��� ������ ���������� �k () ����������� � ���� �k = λk�k, 0 ≤ λk ≤ 1.

������� ���������, ������������ � ����������:

.

����, ��� x1 > 0 �����:

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.

2.3. ����� x1 < 0. �������, ����������� ������� � Π|�|, �� ���� ��� ����� ���:

�������� ����������� ������ 2.2 ��������, ������� X ≤ �1 ≤ X � �1. � ���� ������ y1 = � + λ|x1|, ��� 0 ≤ λ ≤ 1. ���������� ��������������� �������� �1 � �������, ��������

.

������ �������:

|xk| = |yk| + |yk + xk| ().

������ �������, ��� � yk � (xk + yk) � ������ �����. ����� ��������, ��� �k = �λkxk , 0≤λk≤1. ��� ���� == .

����, ��� �1 < 0 �����:

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1}.

2.4. ����� ������. ��� ������������� �������� � = (x1, ..., xn) � �������� ����������� ������ Kj (1) �����:

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

��� , 0 ≤ λ, λk ≤ 1};

2 ����� ������� ������, 2005 (1)
��� .

3. ���������� ���������� �� �������� �� ������

����� ������� x ����������� ������ �1, �.�. �1 ≥ X. � ���� ������ d(x, K1) = 0, � ��������� ��������� ������ �������� �� ���.

����� ������� � ����������� ������ � �1, �.�. -�1 ≥ X. � ���� ������ �������� d(x, K1) = ||�||, � ��������� ��������� ������ �������� ����.

����� �1 = 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1. �������, ��� d(x, K1) = ||��||, � ��������� ��������� ������ �������� �+. �������� ��������� 2.2.13 [5], ��� ����� ���������� ����� ���������� f �*1 �����, ��� ||f|| = 1, f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||,

��� x+ � x- = x, ||x+ + x-|| = ||x||.

� �������� ������ ����������� ������� f=(1, �sgn x2, ...,�sgn xn). ��� ������ �������� ������ ��1 ����������� f(�)=a1 �, �. �. f ������������� ����������. ��������, ��� ��� ����� ����� �������. �������� x+ � x�, ����������� �� �������� 2.1, ������������� �������� ��������� 2.2.14 [5]. ����� ����,

,

.

��������, ��� ||x�|| = || (�, x2, ... , �n)|| = X, �����, ��� f(x-) = =||x-||. ����� �������, ������� ��������� 2.2.14 [5] ����������� ���������, � �� �������� � ������, ���

d(x, K1) = || x-|| = =X, � x+ �������� ��������� � � ��������� ������.

3.4. ����� X > �1 > 0. ������� λ = 0 � �������� 2.2, �������:

) .

� ���� ������ ��������, ��� x+ � x- = x, || x+ + x-|| = ||x||.

������������ ���������� �� 3.3, �������:

,

.

�������, ��� � ���� ������������ ����������� ���������, ���������� � 2.2, � ���, ��� .

� ����� ��������, ��� d(x, K1) = ||x-|| = , a x+ �������� ��������� � x ��������� ������.

3.5. ����� �1 < 0 � � �1 > X. ���� λ = 0 � �������� 2.3, �� ��������

)

������������� �������� x+ � x- = x � ||x+ + x-|| = ||x||, ������ f(x+) = 0, f(x-) = ||x-||, ��� f � ���������� �� 3.3.

����� �������, � ���� ������ d(x, K1) = ||x-|| = , a x+ � ��������� � x ������� ������.

����������� ����������� ����������, ��� ������ ���������� ����������� � ��� ������ Kj.

3.6. ������ ����������� ������������ ��������� ����������� 2.3 �� [6] � ���, ���

4. �������� ��������� �(�)

������� x ����������� ������ �1. � ���� ������ ���������� d(x, K1) = ||x�|| = 0. ���� � = (a1, ..., �n) �(x), �� � �1 � ||� � x|| = 0, ������ �������, ��� � = x � M(x) = {x}.

������� � ����������� ������ ��1. � ���� ������ x1 ≤ �X � ����������

d(x, �1) = ||x||. ���� a = (a1, ..., �n) �(x), �� a1 = A � ||a � x|| = ||x||, ��� ����������� |�1 � x1| + = �x1 + +. ������ �������, ��� �1 = - =A.

��������, ��� ≥ ≥ .

��������� | xk � �k| + |�k| = |xk| ��� ������ ��������, ��� �k � (xk � �k) � ������ �����, �. �. �k = ak xk, ��� 0 ≤ ak ≤ 1 ��� ������ . ��������� ��� �1 ����� ���: �1 = .

� ����� ��������, ���

��� 0≤ak≤1,}.

4.3. x1 = 0 � ������� � �� ����������� ������ �1. ����� � = (a1, ..., an) Î �(x). �� ����������� �(�) �������, ��� a1 ≥ � � ||� � x|| = = + |a1| = . �� ��������� �������� ��������: �1 = ��� ��������� ������� = + +. ��� ����������� + + = . � ����� ����� �������� ���������

|xk −ak| + |ak| = |xk| (),

������� ����������� �����������, ���

��� 0≤ak≤1, }.

4.4. ����� x1 > 0 � ������� x �� ����������� ������ K1. ���� � = (a1, ..., �n) �(x), �� ||a � x|| = ||x�|| = d(x, �1) = � x1

���

��� ��� a Î K1 , �� �1 ≥ . ����� ��������������� �������� a1 ≤ |�1 � x1| + x1 = - ≤ a1 , ��� ����������� �������

���

��������, ��� (�k � xk) � xk � ������ �����, �. �. �k = akxk, ��� 0 ≤ ak ≤ 1 ��� ������ . ��������� � (*), ����� �1 + = .

����� �������, ��������� ��� �1 ����� ���: �1 =.

� ����� ��������, ��� ���� �1 > 0, ��

��� 0≤ak≤ 1, }.

4.5. ����� x1 < 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1, �.�. �x1 < .

���� � = (a1, ..., �n) �(x), �� ||a-x|| = ||x�|| = d(x, �1) =�x1

���

���

������ a1= - . � �� �� ����� + . �� ���������� ����������� ��������, ��� (ak � xk) � (xk) � ������ ����� ��� ������ k, �. �. �k = ak xk, ��� 0 ≤ ak ≤ 1 ��� ������ . ����� a1= =. ��������, ��� (4.4) ����� � ��� ����� ������.

5. �������� ��������� M(x)∩K1

��������� ������ � ��������������� ��������� ������������� ������ �������� � ��������� ���������, �� ������� ����������� ���������� �� �������� �� ������.

����� ������� x ����������� ������ �1. � ���� ������ �(�) = {x}, � �+ = {(� + x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)), 0 ≤ λ, λk ≤ 1, = x1(1 � λ)}. ��� λk = 1 ������� λ = 0 � �+ = {x}, �.�. �(�) ∩ �+ = {x} � �(�) Ì �+.

����� ������� x ����������� ������ ��1. ���� �Î �(x)∩�+, ��, �������� ������� 4.2 � 2.2, �������:

(+ x1(1 � λ), x2(1 � λ2), ... , xn(1 � λn)).

�� ����� ��������� �������, ��� ) ��� λk Î[0,1]. ����, ��� ������ λk, �������� �����, ��� �� ����, ��� � Î �+ �������, ��� � Î �(�). �������� �� ������ �����. � ����� �������� ��������� �(x) ∩ �+ = X+ .

5.3. ����� x1 = 0 � ������� x �� ����������� ������. ���������������� ��������� 4.3 � 2.1, ������� �(�) ∩ �+ = �+.

5.4. ����� x1 > 0 � ������� x �� ����������� ������. ���� ������� ����������� �(�) ∩ �+ , �� ����������� ���������:

(+ x1(1 + λ), x2(1 + λ2), ..., xn(1 + λn)),

��� ����������� �������

������ ��������� �����������, ���� λk �����, ��� λ = 0. � ���� ������ , �.�.

�(x)∩�+=.

5.5. ����� x1 < 0 � ������� � �� ����������� ������ ��1. ���� ������� ����������� �(�) ∩ �+ ,�� ����������� ���������:

(+ x1(1 - λ), x2(1 - λ2), ..., xn(1 - λn)),

��� ����������� �������

������ ��������� �����������, ���� ], �. �. �(x) ∩ �+ = �(�).

������ ����������

����� �. 3. �������� � ������ ������� � ������������� �������������. �������.: ���-�� ���, 1977.

����� �. 3. ����������� ������� ��������� ������� � ������������� �������������. �������.: ���-�� ���, 1978.

�������������� �. �. ������������� ������� ����������� ���������. �.: ���������. 1962.

�������� �. �., ������� �. �. �������� ���� ���������� ������� ������� � . ������� ����. ������������ �����. 1999. � 1.

������� �. �. ������������� �������� ������������ � �� ����������. �����������: �������, 1999.

�������� �. �. � ��������� ���������� ������� ������� � ������������� � l1.���������������� ���. ����. 2003. �. 5, � 3.