Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U
'
и U
''
и умножения равенства a
^
n
+
b
^
n
–
c
^
n
= 0
на 11^
n
(т.е. на 11
в степени n
, а чисел a
,
b
,
c
на 11
) (
k
+3)
-я цифра в числе a
^
n
+
b
^
n
–
c
^
n
(где k
– число нулей на конце числа a
+
b
–
c
) не равна 0
(числа U
'
и U
''
умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11
. Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) – не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
В.С.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
ВИКТОР СОРОКИН
ИНСТРУМЕНТАРИЙ:
[В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Используемые обозначения:
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n
> 10
.
[Все случаи с составным n, кроме n
= 2
k
(который сводится к случаю n
= 4
), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
ak
– k
-я цифра от конца в числе a
(a
1
– последняя цифра).
[Пример
для
a = 1043:
1043 = 1
x53
+ 0
x52
+ 4
x51
+ 3
x50
; a1
= 3
, a2
= 4
, a3
= 0
, a4
= 1
.]
a(
k
)
– окончание (число) из k
цифр числа a
(a
(1)
=
a
1
; 1043(3)
= 043
). Везде в тексте a
1
№
0
.
[Если все три числа a
, b
и c
оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на nn
.]
(ai
n
)1
= ai
и(ai
n - 1
)1
= 1
(см. Малую теорему Ферма
для ai
№
0
). (0.1°)
(
n
+ 1)
n
= (10 + 1)
n
= 11
n
= …101
(см. Бином Ньютона
для простого n
).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s
№
1
[a
1
№
0
]:
если цифра as
увеличивается/уменьшается на 0
< d
<
n
,
то цифра an
s
+1
увеличивается/уменьшается на d
(или d
+
n
, или d
–
n
). (0.2°)
[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
***
(1°) Допустим, что an
+
bn
–
cn
= 0
.
Случай 1
:
(
bc
)1
?
0.
(2°) Пусть u
=
a
+
b
–
c
, где u
(
k
)
= 0,
uk
+1
?
0
,k
> 0
[известно, что в 1° u
> 0
иk
> 0
].
(3°) Умножим равенство 1° на число d
1
n
(см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
цифру uk
+1
в 5
. После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u
=
a
+
b
–
c
, u
(
k
)
= 0
,uk
+1
= 5
.
(1*°) И пусть a
*
n
+
b
*
n
–
c
*
n
= 0
, где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11
n
.
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа:u
,u
' =
a
(
k
)
+
b
(
k
)
–
c
(
k
)
,
u'' = u – u' = (a – a(k)
) + (b – b(k)
) – (c – c(k)
)
, v = (ak+2
+ bk+2
– ck+2
)1
, u*' = a*(k)
+ b*(k)
– c*(k)
,
u*'' = u* – u*' = (a* – a*(k)
) + (b* – b*(k)
) – (c* – c*(k)
)
, 11u'
, 11u''
,v* = (a*k+2
+ b*k+2
– c*k+2
)1
,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) uk+1
= (u'k+1
+ u''k+1
)1
=5
;
(5°) u'k+1
=
(–1
, 0
или1
) – таккак – nk
<
a'(k)
< nk
, – nk
<
b'(k)
< nk
, – nk
<
c'(k)
< nk
и числа a
, b
, c
имеют различные знаки;
(6°) u
''
k
+1
=
(4
, 5
или6
)(см. 3a° и 5°) [важно
:1 <
u
''
k
+1
<
n
– 1
];
(7°) u
'
k
+2
= 0
[всегда!] – так как \
u
'\ < 2
nk
;
(8°) u
''
k
+2
=
uk
+2
[всегда!];
(9°) u
''
k
+2
= [
v
+ (
ak
+1
+
bk
+1
–
ck
+1
)2
]1
, где (
ak
+1
+
bk
+1
–
ck
+1
)2
=
(–1
, 0
или1
);
(10°) v
=
[
uk
+2
– (
a
(
k
+1)
+
b
(
k
+1)
–
c
(
k
+1)
)
k
+2
]1
[где (
a
(
k
+1)
+
b
(
k
+1)
–
c
(
k
+1)
)
k
+2
= (–1
, 0
или1
)] =
= [
uk
+2
–
(–1
, 0
или1
)]1
;
(11°) u
*
k
+1
=
uk
+1
= 5
– т.к. u
*
k
+1
иuk
+1
– последние значащие цифры в числах u
*
и u
;
(12°) u
*'
k
+1
=
u
'
k
+1
– т.к. u
*'
k
+1
иu
'
k
+1
– последние значащие цифры в числах u
*'
и u
'
;
(13°) u*''k+1
= (u*k+1
– u*'k+1
)1
= (3 – u*'k+1
)1
=
(4
, 5
или6
)[важно
:
1 < u*''k+1
< n – 1
];
(14°) (11
u
')
k
+2
= (
u
'
k
+2
+ u
'
k
+1
)1
(затем – в результате приведения чисел к каноническому виду –
величина u
'
k
+1
«уходит» в u
*''
k
+2
, поскольку u
*'
k
+2
= 0
);
(14a°) важно:
числа (11
u
')(
k
+2)
и u
*'(
k
+2)
отличаются только k
+2
-ми цифрами, а именно:
u
*'
k
+2
= 0
, но (11
u
')
k
+2
№
0
в общем случае;
(15°) (11
u
'')
k
+2
=
(
u
''
k
+2
+ u
''
k
+1
)1
;
(16°) u*k+2
= (uk+2
+ uk+1
)1
= (u''k+2
+ uk+1
)1
= (u''k+2
+ 5)1
;
(16а°) к сведению: u
*'
k
+2
= 0
(см. 7°);
(17°) u*''k+2
=
(u*k+2
+1
, u*k+2
илиu*k+2
– 1
)1
= (см. 9°) = (u''k+2
+ 4
,u''k+2
+ 5
или u''k+2
+ 6)1
;
(18°) v* =
[u*k+2
– (a*(k+1)
+ b*(k+1)
– c*(k+1)
)k+2
]1
[гдеu*k+2
= (uk+2
+ uk+1
)1
(см. 16°), а(a*(k+1)
+ b*(k+1)
– c*(k+1)
)k+2
= (–1
, 0
или1
) –
см. 10°] =
= [(uk+2
+ uk+1
)1
–
(–1
, 0
или1
)]1
.
(19°) ВведемчислаU' = (ak+1
)n
+ (bk+1
)n
– (ck+1
)n
, U'' = (an
+ bn
– cn
) – U'
, U = U' + U''
,
U*' = (a*k+1
)n
+ (b*k+1
)n
– (c*k+1
)n
, U*'' = (a*n
+ b*n
– c*n
) – U*'
, U* = U*' + U*''
;
(19а°) к сведению: U
'(k+1)
=
U
*'(k+1)
= 0
.
(20°) Лемма: U(k+2)
= U'(k+2)
= U''(k+2)
= U*(k+2)
= U*'(k+2)
= U*''(k+2)
= 0
[всегда!].
Действительно, из 1° мы имеем:
U = an
+ bn
– cn
=
= (a(k+1)
+ nk+1
ak+2
+ nk+2
Pa
)n
+ (b(k+1)
+ nk+1
bk+2
+ nk+2
Pb
)n
– (c(k+1)
+ nk+1
ck+2
+ nk+2
Pc
)n
=
= (a(k+1)
n
+ b(k+1)
n
– c(k+1)
n
) + nk+2
(ak+2
a(k+1)
n - 1
+ bk+2b(k+1)
n - 1
– ck+2c(k+1)
n - 1
) + nk+3
P =
= U' + U'' = 0
, где
U' = a(k+1)
n
+ b(k+1)
n
– c(k+1)
n
,
(20a°)U'' = nk+2
(ak+2
a(k+1)
n -1
+ bk+2b(k+1)
n -1
– ck+2c(k+1)
n -1
) + nk+3
P
,
где(ak+2
a(k+1)
n -1
+ bk+2
b(k+1)
n -1
– ck+2
c(k+1)
n -1
)1
=
(см. 0.1°)=
(20b°) = (ak+2
+ bk+2
– ck+2
)1
=
U''k+3
=
v
(см. 4°).
(21°) Следствие: (U'k+3
+ U''k+3
)1
= (U*'k+3
+ U*''k+3
)1
= 0
.
(22°) Вычислимцифру(11n
U')k+3
:
[так как числа (11
u
')(
k
+2)
и u
*'(
k
+2)
отличаются только k+2-ми цифрами на величину
(11
u
')
k
+2
)
, то на эту величину будут отличаться и цифры (11
n
U
')
k
+3
и U
*'
k
+3
, это означает,
что цифра (11
n
U
')
k
+3
будет на (11
u
')
k
+2
превышать цифру U
*'
k
+3
(см. 0.2°)]
(11n
U')k+3
= U'k+3
= (U*'k+3
+ (11u')k+2
)1
= (U*'k+3
+ u'k+1
)1
.
(23°) ОткудаU*'k+3
= U' k+3
– u'k+1
.
(24°) Вычислим цифру U
*''
k
+3
:
U*'' k+3
= v*
= (uk+2
+ uk+1
)1
–
(–1
, 0
или1
) – см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру (
U
*'
k
+3
+
U
*''
k
+3
)1
:
(U*'k+3
+ U*''k+3
)1
= (U*'k+3
+ U*''k+3
– U'k+3
– U''k+3
)1
= (U*'k+3
– U'k+3
+ U*''k+3
– U''k+3
)1
=
(см. 23° и 24°) = (–
u
'
k
+1
+ v* –
v) =
(см. 18° и 10°) =
= (– u'k+1
+ [uk+2
+ uk+1
–
(–1
, 0
или1
)]
–
[uk+2
–
(–1
, 0
или1
)])1
=
= (–
u
'
k
+1
+uk
+1
+
(–2
, –1
, 0
, 1
, или2
))1
=
(см. 3a°) =
(
u
''
k
+1
+
(–2
, –1
, 0
, 1
, или2))1
=
(см. 6°) = (2
, 3
, 4
, 5
, 6
, 7
или 8
) №
0
,
что противоречит 21°и, следовательно, выражение 1° есть неравенство
.
Случай 2
[доказывается аналогично, но намного проще]:
b
(или c
) = nt
b
'
, где b
1
= 0
и bt
+1
=
b
'1
№
0
.
(26°) Введем число u
=
c
–
a
> 0
, где u
(
nt
– 1)
= 0
,а unt
?
0
(см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d
1
n
(с целью превратить цифру unt
в 5
)
(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u
' =
a
(
nt
– 1)
–
c
(
nt
– 1)
, u
'' = (
a
–
a
(
nt
– 1)
) – (
c
–
c
(
nt
– 1)
)
(где, очевидно, u
''
nt
= (
a
nt
–
c
nt
)1
);
U
' =
a
(
nt
)
n
+
bn
–
c
(
nt
)
n
(гдеU
'(
nt
+ 1)
= 0
–
см. 1° и 26°),U
'' = (
an
–
a
(
nt
)
n
) – (
cn
–
c
(
nt
)
n
)
,
U
*' =
a
*(
nt
)
n
+
b
*
n
–
c
*(
nt
)
n
(гдеU
*'(
nt
+ 1)
= 0
),U
*'' = (
a
*
n
–
a
*(
nt
)
n
) – (
c
*
n
–
c
*(
nt
)
n
)
,
v = ant+1
– cnt+1
.
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b
во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры bn
nt
+1
и bn
nt
+2
при умножении равенства 1° на 11n
не меняются (т.к. 11n
(3)
= 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
==================
ПРИЛОЖЕНИЕ
§1. Если числа a
,
b
,
c
не имеют общих сомножителей и b
1
=
(
c
–
a
)1
= 0
,
тогда из числа R
= (
cn
–
an
)/(
c
–
a
) =
= cn –1
+ cn –2
a + cn –3
a2
+ … c2
an - 3
+ can - 2
+ an - 1
=
= (cn –1
+ an –1
) + ca(cn –3
+ an –3
) + … + c(n –1)/2
a(n –1)/2
=
= (cn –1
– 2c(n –1)/2
a(n –1)/2
+ an –1
+ 2c(n –1)/2
a(n –1)/2
) + ca(cn –3
– 2c(n –3)/2
a(n –3)/2
+ an –3
+ 2c(n –3)/2
a(n –3)/2
) +
+ … +
c
(
n
–1)/2
a
(
n
–1)/2
= (
c
–
a
)2
P
+
nc
(
n
–1)/2
a
(
n
–1)/2
следует, что:
c
–
a
делится на n
2
, следовательно R
делится на n
и не делится на n
2
;
так как R
>
n
,
то число R
имеет простой сомножитель r
не равный n
;
c
–
a
не делится на r
;
если b
= nt
b
'
, где b
'1
№
0
, то число c – a делится на ntn
– 1
и не делится ntn
.
§2. Лемма
.
Все n цифр (
a
1
di
)1
, где di
= 0, 1, …
n
– 1
, различны.
Действительно, допустив, что (
a
1
d
1
*)1
= (
a
1
d
1
**)1
, мы находим: ((
d
1
* –
d
1
**)
a
1
)1
= 0
.
Откуда d
1
* =
d
1
**
. Следовательно, множества цифр a
1
(здесь вместе с a
1
= 0
) и d
1
совпадают.
[Пример для
a
1
= 2
:
0: 2
x0 = 0
; 1: 2
x3 = 11
; 2: 2
x1 = 2
; 3: 2
x4 = 13
; 4: 2
x2 = 4
.
При составном nЛемма
несправедлива: в базе 10
и
(2х2)1
= 4
, и
(2х7)1
= 4
.]
§2a. Следствие
.
Для любой цифры
a
1
№
0
cуществует такая цифра
di
, что (
a
1
di
)1
= 1
.
[Пример для
a
1
= 1, 2, 3, 4:
1x1
= 1
; 2x3
= 11
; 3x2
= 11
; 4x4
= 31
.]
ВИКТОР СОРОКИН
e
-
mail
:
victor.sorokine@wanadoo.fr
4 ноября 2004, Франция
P.S. Доказательство для случаев n
= 3, 5
, 7
аналогично, но в (3°) цифра uk
+1
превращается не в 5
, а в 1
, и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11
n
, а на некоторое hn
, где h
– некоторое однозначное число.
|