Контрольная работа

по дисциплине

«Теория телетрафика»

Законы распределения случайной величины

Таблица1 Исходные данные

Задание 1

1.Построить огибающую распределения вероятности занятия линий в пучке из v , на каждую из которых поступает интенсивность нагрузки а, при условии, что:

а) N ≈ v;

6) N>>v;

в) N, v → ∞.

2. Для каждого используемого распределения рассчитать среднее число занятых линий и их дисперсию.

Для расчета число линий в пучке определить из следующего выражения:

(целая часть полученного числа), где NN - номер варианта.

Средняя интенсивность нагрузки, поступающей на одну линию:

для NN ≤15:а = 0,15+0,05(15-NN); для 15 < NN ≤ 25:а= 0,05 +0,05(26-NN).

Примечания.

Для огибающей распределения привести таблицу значений Р_i , и i

В распределении Пуассона привести шесть - восемь составляющих, включая значения вероятности для i=[Y] (целая часть числа Y); Y = a*v

Решение

а) Распределение Бернулли (биноминальное распределение) при N ≤ v имеет вид:

,

где можно рассматривать как вероятность занятия любых i линий в пучке из v;

- числоо сочетаний из

а – средняя интенсивность поступающей нагрузки на одну линию v – линейного пучка от N источников а =0,15+0,05(15-NN)= 0,15+0,05(15-9)=0,45

v – число линий в пучке

Рисунок1 Биноминальное распределение

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых описывается распределением Бернулли, соответственно равны:

б) Распределение Эрланга используется при N>>vи имеет вид:

где - вероятность занятия любых i линий в пучке из v.

Y – средняя интенсивность нагрузки Y=a*v=0,45*9=4,05

Рисунок 2 Распределение Эрланга

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, вероятность занятия которых подчиняется распределению Эрланга, соответственно равны:

в) Распределение Пуассона используется при N, v → ∞ и имеет вид:

где Y – средняя интенсивность нагрузки Y=a*v=0,45*9=4,05

Рисунок 3 Распределение Пуассона

Математическое ожидание и дисперсия числа занятых линий, в бесконечном пучке линий равны между собой и вычисляются по формуле:

Потоки вызовов. Основные свойства и характеристики

Задание 2

На коммутационную систему поступает простейший поток вызовов с интенсивностью Y.

1. Рассчитать вероятности поступления менее k вызовов за промежуток времени [0, t*): P_k (t*), где t*= 0,5; 1,0; 1,5; 2,0.

2. Построить функцию распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов. F(t*), где t*= 0; 0,1; 0,2; ...

3. Рассчитать вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0, t*): P_{i ³ k} {t*), где t*= 1.

Примечание:

Для расчета значения Y и v взять из задания 1. Число вызовов k определить из выражения: k = [v/2] - целая часть числа.

Для построения графика, рассчитать не менее пяти значений F(t*). Результаты расчета привести в виде таблицы значений F(t*) и t*.

Расчет членов суммы P_{i ³ k} {t*) провести не менее, чем для восьми членов суммы.

Решение

1. Вероятность поступления менее k вызовов за промежуток времени [0, t*): P_k (t*), где t*= 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; вычислим по формуле:

, где k =0, 1, 2,....;

Y=4,5; v=9 – из первого задания; k=v/2=9/2=4,5=5

Рисунок 4 График распределения вероятности

2. Найдем и построим значения функции распределения промежутков времени между двумя последовательными моментами поступления вызовов по формуле:

, где t*= 0; 0,1; 0,2; ...

График функции распределения

Рисунок 5 График функции распределения

Таблица 2 Результаты расчета

3. Рассчитаем вероятность поступления не менее k вызовов за интервал времени [0, t*): P_{i ³ k} {t*), где t*= 1, по формуле:

;

Телефонная нагрузка и ее параметры

Задание 3

1. Рассчитать интенсивность поступающей нагрузки на входы ступени 1ГИ для АТСКУ , Эрл.

2. Рассчитать средние интенсивности удельных абонентских нагрузок для абонентских линии народнохозяйственного и квартирного секторов:

, Эрл.;

, Эрл.;

а также среднюю удельную интенсивность нагрузки на абонентскую линию АТС:

, Эрл.;

Пересчитать интенсивность нагрузки на выход ступени 1ГИ.

Примечания:

1. Для расчета интенсивности поступающей нагрузки взять из табл.1 в

зависимости от номера варианта Ni, Сi, Тi. В расчете принять n =5:

2. Нагрузка со входа ступени 1ГИ на ее выход пересчитывается с помощью следующего выражения: У_вых1ГИ = (t_вых1ГИ / t_вх1ГИ ) * У_вх1ГИ , где t_вых1ГИ и t_вх1ГИ - соответственно среднее время занятия выхода ступени 1ГИ и среднее время занятия входа ступени 1ГИ. t_вых1ГИ =t_вх1ГИ - Dt, где Dt -разница между временами занятия входа и выхода ступени 1ГИ. Для АТСКУ: Dt = 0,5*t_мави + t_мри + t_мри + t_co + n*t_н + t_м1ГИ + t_м1ГИ . Среднее время занятия входа ступени 1ГИ: t_вх1ГИ = У_{вх1ГИнх} / (N_нх * С_нх + N_кв * С_кв ), для расчета принять: к_p = 0,6; к_з = 0,2; к_{н o} = 0,15; к_{o ш} = 0,05.

Решение

Структурный состав источников нагрузки проектируемой АТС:

Абоненты (N)

- народнохозяйственного сектора (НХ) – 2400

- квартирного сектора (КВ) – 5600

Средняя продолжительность разговоров Т в секундах:

Т_нх – 90 с; Т_кв – 150 с.

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в ЧНН:

С_нх – 3,7; С_кв – 0,9.

Емкость существующей сети N = 55000.

Число действующих станций на ГТС – 7, в т. ч.

N_АТС1 – 7000; N_АТС2 – 8000; N_АТС3 – 6000; N_АТС4 – 9000; N_АТС5 – 5000; N_АТС6 – 10000;

N_АТС7 – 10000.

Емкость проектируемой АТС – 8000

Доля вызовов, закончившихся разговором к_р = 0,6

Интенсивность поступающей нагрузки на входе ступени 1 ГИ проектируемой АТС может быть определена по формуле:

У_вх1ГИ = N_i *У_i , где i– категория абонентской линии,

N_i – число абонентских линий i - ой категории

У_i – удельная интенсивность нагрузки поступающая от АЛ i – ой категории на проектируемой АТС

Удельная интенсивность нагрузки от АЛ i – ой категории находится по формуле:

У_i = C_i * t_i , где Сi – среднее число вызовов поступающих в ЧНН от АЛ i – ой категории;

t_i – средняя длительность занятия входов 1 ГИ вызовом от АЛ i – ой категории

Средняя длительность занятия входов 1 ГИ определяется выражением:

t_i = к_p *t_pi + к_з *t_з + к_но *t_но + кош*t_ош +к_тех *t_тех ;

где к_р – доля вызовов из общего числа закончившихся разговором;

к_з – доля вызовов из общего числа не закончившихся разговором из–за занятости вызываемой АЛ;

к_но – то же из-за не ответа абонента;

к_ош – то же из-за ошибок в наборе номера;

к_тех – то же из-за технических неисправностей в узлах коммутации (при расчетах к_тех = 0);

t_pi ; t_но ; t_ош ; t_тех – средние длительности занятий соответствующие этим случаям.

В практических расчетах, возможно использовать выражение:

t_i = a_i *к_p *t_pi , где a_i – коэффициент непроизводительного занятия коммутационной системы, зависящий от T_i и к_р . Эта зависимость приведена на рис. 6

Рисунок 6 Коэффициент непроизводительного занятия коммутационной системы

Среднюю длительность занятия 1 ГИ в случае соединения окончившегося разговором можно найти из выражения:

t_pi = t_y + t_пв + T_i + t_о ,

где t_y – средняя длительность установления соединения;

t_пв – средняя длительность слушания сигнала «КПВ»(t_пв = 7 с.);

T_i – средняя продолжительность разговора для вызова i – ой категории;

t_o – продолжительность отбоя (to = 0,6 с.)

Средняя длительность установления соединения для АТСКУ определяется по формуле: t_у = 0,5*t_мави + t_мри + t_мри + t_co + n*t_н + t_1ГИ + t_м1ГИ + t_мсд + t_мсд , где

t_j – среднее время ожидания обслуживания вызова маркером j – степени, t_j = 0,1c.;

t_мави – время установления соединения МАВ на АИ при исходящей связи t_мави = 0,3с.;

t_мри – время установления соединения МРИ на ступени РИ, t_мри = 0,2 с.;

t_м1ГИ – время установления соединения МГИ на ступени 1ГИ, t_м1ГИ = 0,65 с.;

t_мсд – время установления соединения МСД, t_мсд = 1 c.;

t_co – средняя длительность слушания сигнала «Ответ станции», t_co = 3 c.;

t_н – средняя длительность набора одного знака номера, t_н = 1,5 с.;

n – значность номера, n = 5.

Тогда вычислим:

t_y = 0,5*0,3 +0,1+ 0,2 + 3 + 5*1,5 + 0,1 + 0,65 + 0,1 + 1 = 12,8 с.

t_рнх = 12,8 + 7 + 90 + 0,6 = 110,4 с.;

t_ркв = 12,8 + 7 + 150 + 0,6 = 170,4 с.;

t_нх = 1,21 * 0,6 * 110,4 = 80,15 с.;

t_кв = 1,12 * 0,6 * 170,4 = 114,509 с.;

У_нх = 3,7 * 80,15 / 3600 = 0,082 Эрл.;

У_кв = 0,9 * 114,509 / 3600 = 0,029 Эрл.;

У_вх1ГИ = 2400 * 0,082 + 5600 * 0,029 = 358,017 Эрл.;

У_исх = 358,017 / (2400 + 5600) = 0,045 Эрл.

Пересчитаем нагрузку со входов на выходы ступеней группового искания. Интенсивность нагрузки с входа на выход пересчитывается с помощью следующего выражения: У_вых1ГИ = (t_вых1ГИ / t_вх1ГИ ) * У_вх1ГИ , где t_вых1ГИ и t_вх1ГИ – соответственно средние времена занятия входа и выхода 1 ГИ.

Среднее время занятия входа ступени 1 ГИ:

t_вх1ГИ = У_вх1ГИ / (N_нх * С_нх + N_кв * С_кв ),

тогда вычислим:

t_вх1ГИ = 358,017 / (3,7 * 2400 + 0,9 * 5600) = 0,026 ч. = 92,591 с.

Среднее время занятия выхода 1ГИ:

t_вых1ГИ = t_вх1ГИ - Dt, где Dt – разница между временами занятия входа и выхода ступени 1ГИ.

для АТСКУ Dt = 0,5*t_мави + t_мри + t_мри + t_co + n*t_н + t_м1ГИ + t_м1ГИ = 0,15 +0,1 + 0,2 + 3 + 7,5 + 0,1 + 0,65 = 11,7 с.

t_вых1ГИ = 92,591 – 11,7 = 80,891 с.

У_вых1ГИ = (80,891 / 92,591) * 358,017 = 312,777 Эрл.

Распределение нагрузки по направлениям

Задание 4

1.Распределить интенсивность нагрузки У_вых1ГИ ступени 1ГИ АТСКУ по направлениям методом нормированных коэффициентов тяготения (упрощенная формула). Расстояния между АТС задать в пределах 1 км < L_ij < 14 км

2. Определить расчетную интенсивность нагрузки в каждом направлении.

Результаты представить в виде таблицы.

Примечание: Нагрузку на выходе 1ГИ в направлении к АМТС и УСС рассчитать следующим образом: У_амтс = 0,05 * У_вых1ГИ ; У_усс = 0,02 * У_вых1ГИ .

Нагрузка, которая будет распределена по другим направлениям ступени, равна:

У_i = У_вых1ГИ – (У_амтс + У_усс ).

Для распределения нагрузки по направлениям емкости АТС взять из примечания предыдущего задания.

Решение

Распределим нагрузку по направлениям исходящей и входящей связи. Составим диаграмму распределения нагрузки:

Нагрузка на выходе ступени 1 ГИ распределяется по направлениям исходящей связи. Нагрузку в направлении к АМТС и УСС рассчитаем следующим образом:

У_амтс = 0,05У_вых1ГИ = 0,05 * 312,777 = 15,639 Эрл.

У_усс = 0,02У_вых1ГИ = 0,02 * 312,777 = 6,256 Эрл.

Нагрузка, которая будет распределена по другим направлениям исходящей связи, равна:

У_i = У_вых1ГИ – (У_амтс + У_усс ) = 312,777 – (15,639 + 6,256) = 290,882 Эрл.

Эта нагрузка распределяется между станциями сети с помощью нормированных коэффициентов тяготения n_ij , которые зависят от расстояния между станциями сети L_ij , эта зависимость приведена в МУ, стр.12, рис.3.

Нагрузка от проектируемой АТС к другим станциям сети может быть определена из следующей формулы: У_ij = n_ij * У_i * У_j / (n_ij * У_j ),

Это выражение приближенно можно записать в виде: У_ij = n_ij * N_j * У_i / (n_ij * N_j ),

Расстояние от проектируемой АТСКУ до других станций на сети выберем из условия:

1км £L_ij £ 14 км

Тогда от АТСКУ до АТСКУ1 2км., nij = 0,8;

до АТСКУ2 3км., n_ij = 0,75;

до АТСКУ3 4км., n_ij = 0,67;

до АТСКУ4 5км., n_ij = 0,62;

до АТСКУ5 6км., n_i j = 0,57;

до АТСКУ6 7км., n_ij = 0,52;

до АТСКУ7 8км., n_ij = 0,5;

При определении внутристанционной нагрузки У_ij L_ij = 0, а n_ij = 1;

Исходящую нагрузку принимаем равной входящей нагрузке, т. е.:

У_ij = У_ii , У_{вх.амтс} = У_амтс .

Тогда находим:

У_ii = 1*8000*290,882/[(0,8*7000)+(0,75*8000)+(0,67*6000)+(0,62*9000)+(0,57*5000)+

+(0,52*10000)+(0,5*10000)] = 67,943 Эрл.

У_{атску-атску1} = 0,8 * 7000 * 0,008493 = 47,56 Эрл.;

У_{атску-атску2} = 0,75 * 8000 * 0,008493 = 50,957 Эрл.;

У_{атску-атску3} = 0,67 * 6000 * 0,008493 = 34,142 Эрл.;

У_{атску-атску4} = 0,62 * 9000 * 0,008493 = 47,39 Эрл.;

У_{атску-атску5} = 0,57 * 5000 * 0,008493 = 24,205 Эрл.;

У_{атску-атску6} = 0,52 * 10000 * 0,008493 = 44,163 Эрл.;

У_{атску-атску7} = 0,5 * 10000 * 0,008493 = 42,465 Эрл.;

Общая входящая нагрузка на проектируемой АТС:

У_{вх i} = У_ji + У_ii = 67,943 + 47,56 + 50,957 + 34,142 + 47,39 + 24,205 + 44,163 + 42,465 =

= 460,729 Эрл.

После определения математических ожиданий интенсивности нагрузки по всем направлениям переходим к расчетным значениям нагрузки по формуле:

Ур = У + 0,674, где У – математическое ожидание интенсивности нагрузки в каждом направлении. Результаты расчета сведем в табл.3

Таблица 3

Метод расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем при обслуживании простейшего потока вызовов в системе с потерями. Первая формула Эрланга

Задание 5

1. Рассчитать необходимое число линии на всех направлениях искания : ступени 1ГИ, предполагая полнодоступное однозвенное включение при заданных нормах величины потерь. Расчетную интенсивность нагрузки взять из предыдущего задания. Результаты занести в таблицу.

2. Рассчитать и построить зависимость числа линий v и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,0NN, где NN - номер варианта. Результаты расчета представить в виде таблицы и графиков v = f(Y) и h= f(Y) при Р = const.

3. Построить зависимость величины потерь E_{v , v} (Y) от интенсивности поступающей нагрузки при фиксированном значении числа линий в направлении к УСС. Диапазон изменения величины потерь принять от 0,0001 до 0,2 (соответствующим выбором Y). Результаты представить в виде таблицы и графика Р =f(Y) при v = const.

Решение

1.Расчет необходимого числа линий на всех направлениях искания ступени 1ГИ таб.4

Таблица 4

2. Рассчитаем и построим зависимость числа линий v и коэффициента использования h от величины интенсивности нагрузки при величине потерь Р = 0,008 по формулам:

h = У₀ /v, где У₀ – обслуженная нагрузка,

У₀ = У – У_пот = У * [1 – Е_{v , v} (У)] = У * 0,985

Таблица 5 Результаты расчета

Рисунок 7 График зависимости v = f(Y)

Рисунок 8 График зависимости h= f(Y)

3. Построим зависимость величины потерь E_{v , v} (Y) от интенсивности поступающей нагрузки при фиксированном значении числа линий в направлении к УСС.

Результаты расчета при v = const = 20 таб.6

Таблица 6

Рисунок 9 График зависимости Р =f(Y)

Метод расчета однозвенных полнодоступных коммутационных схем при обслуживании примитивного потока вызовов в системе с потерями. Первая формула Энгсета - Фрайя

Задание 6

1. Используя таблицы (приложение 2), рассчитать для заданных значений v и а при n = 20 вероятности Р_t , Р_в , Р_н , сравнить их по величине. Для расчета значения v и а взять из задания 1. Если а > 0,5, то принять а = а/2.

2. Построить зависимость числа линий v от интенсивности нагрузки при фиксированном значении Р_в = 0,0NN при n = 10, 30, 60. На этом же рисунке построить зависимость v = f(Y) для обслуживания простейшего потока вызовов. Результаты представить в виде таблицы. Объяснить полученные зависимости.

Решение

1. Рассчитаем вероятности Р_t , Р_в , Р_н по формулам:

;

;

,

где а = 0,5 – интенсивность нагрузки от одного источника;

v = 9 – число линий в пучке;

n = 20 – число источников нагрузки, из условия задания.

;

;

;

По результатам расчета видно, что Р_t > Р_в > Р_н .

2. Построим зависимость числа линий v от интенсивности нагрузки при фиксированном значении Р_в = 0,0NN = 0,008 при n = 10, 30, 60. На этом же рисунке построим зависимость v = f(Y) для обслуживания простейшего потока вызовов.

Результаты расчета при Р_в = 0,007 приведены в таб.7

Таблица 7

График зависимости числа линий v от интенсивности нагрузки рис.10

Рисунок 10 График зависимости числа линий v от интенсивности нагрузки

Характер зависимости величины поступающей нагрузки Y от емкости пучка линий, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n такой же, как и при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. Из выше приведенного графика видно, что при данном качестве обслуживания поступающая на v линий пучка нагрузка создаваемого вызовами примитивного потока от любого числа источников имеет большую величину по сравнению с нагрузкой Y, создаваемой вызовами простейшего потока.

Таким образом, с точки зрения величины обслуживаемой нагрузки примитивный поток всегда «лучше» простейшего потока вызовов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Корнышев Ю. Н., Пшеничников А. П., Харкевич А. Д. Теория телетрафика - М.: Радиои связь, 1996. - 272 с.

2. Лившиц B.C., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика - М.: Связь, 1979. - 224 с.

3. Шнепс М.А. Системы распределения информации. Методы расчета. М.: Связь, 1979. -342 с.

4. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации. М.: Радио и связь, 1985.-184 с.

5. Башарин Г.Л. Таблицы вероятностей и средних, квадратичных отклонений потерь на полнодоступном пучке линий. - М.: АН СССР 1962. -128 с.

6. Учебное пособие по курсовому проектировании координатных АТС / Р.А. Аваков, М.А. Подвида, В.Е. Родзянко- Л., 1961. - 102 с.

7. Лившиц B.C., Фидлин Л.В. Системы массового обслуживания с конечным числом источников. - М.: Связь, 1968. - 167 с.

8. Ионин Г.Л., Седол Я.Я. Таблицы вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. - М.: Наука, 1970. -155 с.

9. Захаров Т.П., Варакосин Н.П. Расчет количества каналов связи при обслуживании с ожиданием. - М.: Связь, 1967. - 194 с.

10. Проектирование координатных автоматических телефонных станций типа АТСК /М.Ф. Когш, З.С. Коханова, О.И. Панкратова и др. / ВЗЭЙС. - М.: 1969. -143 с.

11. Блинова Р.Д., Курносова Н.И. Методические указания для выполнения курсовой работы по курсу "Теория распределения информации". - М.: МТУСИ,'1994. - 26 с.