Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3 , катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s .

В задании приняты следующие обозначения: m₁ , m₂ , m_3, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₃ – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 1.

Решение

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T₀ и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀ =0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1 , 2 , 3 и 4 :

Т = Т₁ + Т₂ + 4Т₃ + Т₄ . (3)

Кинетическая энергия груза 1 , движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2 , совершающего вращательное движение,

, (5)

где J_{2 x} – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w₂ – угловая скорость барабана 2 :

.(7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия колеса 3 , совершающего плоскопараллельное движение:

, (9)

где V_{C 3} – скорость центра тяжести С₃ барабана 3 , J_{3 x} – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

, (10)

w₃ – угловая скорость барабана 3 .

Мгновенный центр скоростей находится в точке С_V . Поэтому

, (11)

. (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

. (13)

Кинетическая энергия груза 4 , движущегося поступательно

. (14)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

. (15)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

Работа силы тяжести :

(16)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа пары сил сопротивления качению :

(18)

где

(19)

(20)

(21)

Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем:

(22)

Работа силы тяжести :

(17)

Работа силы тяжести :

(23)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24):

.

Подставляя заданные значения, получаем:

Или

. (24)

Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24):

,

откуда выводим

м/с.

Дано:

R₂ =30; r₂ =20; R₃ =40; r₃ =40

X=C₂ t² +C₁ t+C₀

При t=0 x₀ =7 =0

t₂ =2 x₂ =557 см

X₀ =2C₂ t+C₁

C₀ =7

C₁ =0

557=C₂ *5² +0*5+7

25C₂ =557-7=550

C₂ =22

X=22t² +0t+7

=V=22t

a==22

V=r_{2 2}

R_{2 2} =R_{3 3}

₃ =V*R₂ /(r₂ *_R3) =(22t)*30/20*40=0,825t

₃ =₃ =0,825

V_m =r₃ *₃ =40*(0,825t)=33t

a^t _m =r₃

=0,825t

a^t _m =R₃ =40*0,825t=33t

aⁿ _m =R₃ ² ₃ =40*(0,825t)² =40*(0,825(t)²

a=

***********************************

Дано :R₂ =15; r₂ =10; R₃ =15; r₃ =15

X=C₂ t² +C₁ t+C₀

При t=0 x₀ =6 =3

t₂ =2 x₂ =80 см

X₀ =2C₂ t+C₁

C₀ =10

C₁ =7

80=C₂ *2² +3*2+6

4C₂ =80-6-6=68

C₂ =17

X=17t² +3t+6

=V=34t+3

a==34

V=r_{2 2}

R_{2 2} =R_{3 3}

₃ =V*R₂ /(r₂ *_R3) =(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3

₃ =₃ =3,4

V_m =r₃ *₃ =15*(3,4t+0,3)=51t+4,5

a^t _m =r₃

=3,4t

a^t _m =R₃ =15*3,4t=51t

aⁿ _m =R₃ ² ₃ =15*(3,4t+0,3)² =15*(3,4(t+0,08)²

a=

Решение второй задачи механики

Дано:

m=4.5 кг; V₀ =24 м/с;

R=0.5V H;

t₁ =3 c;

f=0.2;

Q=9 H; F_x =3sin(2t) H.

Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВС

Решение:

1) Рассмотрим движение на промежутке АВ

учитывая, что R=0.5VH;

Разделяем переменные и интегрируем

2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V₀ =V_B )

Дано:

m =36 кг

R =6 см=0,06 м

H =42 см=0,42 м

y_C =1 см=0,01 м

z _С =25 см=0,25 м

АВ=52 см=0,52

М=0,8 Н·м

t ₁ =5 с

Найти реакции в опорах А и В .

Решение

Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера:

(1)

Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле

, (2)

где J_{z 1} − момент инерции тела относительно центральной оси С _{z 1} , параллельной оси z ; d – расстояние между осями z и z ₁ .

Воспользуемся формулой

, (3)

где α , b , g - углы, составленные осью z ₁ с осями x , h , z соответственно.

Так как α=90º , то

. (4)

Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h , z

;

.

Вычисляем

;

.

Определяем угол g из соотношения

;

;

.

Угол b равен

;

.

По формуле (4), вычисляем

.

Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2):

,

где d = y_C ;

.

Из последнего уравнения системы (1)

;

.

Угловая скорость при равноускоренном вращении тела

,

поэтому при ω₀ =0 и t = t ₁ =5 c

.

Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х , перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А .

Центробежный момент инерции тела определим по формуле

,

где , т.е.

.

Тогда

.

Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства

Отсюда

Ответ: , , , .

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

x=5cos(pt² /3); y= -5sin(pt² /3); (1)

t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Решение:

Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме.

x² + y² = (5cos(pt² /3))² + (-5sin(pt² /3))² ;

Получаем x² + y² = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

(2)

Вектор ускорения точки

Здесь V_x , V_{y ,} a_x , a_y – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1)

(3)

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(V_x ² + V_y ² ); (4)

и модуль ускорения точки:

а =Ö(а_х ² +а_у ² ). (5)

Модуль касательного ускорения точки

а_t =|dV/dt|, (6)

а_t = |(V_x a_x +V_y a_y )/V| (6’)

Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки

а_п = V² /p; (7)

p – радиус кривизны траектории.

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =Ö(а² -a_t ² ); (8)

После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V² / a_{n .} (9)

Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени.

Дополнительное задание:

z=1.5tx=5cos(pt² /3); y= -5sin(pt² /3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с).

Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

V=Ö(V_x ² + V_y ² +V_z ² );

и модуль ускорения точки:

а =Ö(а_х ² +а_у ² + а_z ² ).

V=;

a=24.3 см/с;

Касательное ускорение точки

а_t = |(V_x a_x +V_y a_y + V_z a_z )/V|

a_t =(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с

Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом:

a_n =Ö(а² -a_t ² );

a_n =21.98 см/с² .

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

p=V² / a_{n .} р=5.1 см

Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице

Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела в определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Дано:

ОМ=Sr=120pt² см;

j_е =8t² – 3t рад ;

t1=1/3 c; R=40 см.

Решение:

1) Положение точки М на теле в определяется расстоянием S_r =ОМ

при t=1/3 cS_r =120p/9=41.89 см.

При t=1/3с V_r =80p=251.33 см/с.

a_{r t} =d² S_r /dt² a_{r t} =240p=753.98 см/с²

a_{r n} =V_r ² /R a_{r n} =(80p)² /40=1579.14 см/с²

2) V_e =w_e r , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М.

a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см.

w_е =dj_e /dt=16t-3 при t=1/3 w_е =7/3=2.33 с^-1

V_e =80.83 см/с.

а_е ^ц =w_e ² r а_е ^ц =188.6 см/с² .

а_е ^в =e_е re_е = d² j_e /dt² =16 с^-2 а_е ^в =554.24 см/с² .

3)

а_с =2*w_е V_r sin(w_е , V_r ) sin(w_е , V_r )=90-a=p/6 a_c =585.60 см/с²

4)

V=Ö(V_e ² +V_r ² ) V=264.01 см/с

Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций.

a_x =a_е ^в +а_с

a_y =a_rn cos(p/3)+a_{r t} cos(p/6)

a_z =-а_е ^ц - a_rn cos(p/6)+a_{r t} cos(p/3)

а=Ö(a_x ² +a_y ² +a_z ² )

Результаты расчетов сведены в таблицу

Определение реакций опор твердого тела

Дано :

Q=10 kH;

G=5 kH;

a=40 см; b=30 см; c=20 см;

R=25 см; r=15 см.

Задание:

Найти реакции опор конструкции.

Решение:

Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия.

Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.

Проверка.

Составим уравнения относительно точки В.