Контрольная работа: Основная задача механики
Название: Основная задача механики Раздел: Рефераты по физике Тип: контрольная работа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3 , катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным s . В задании приняты следующие обозначения: m1 , m2 , m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R3 – радиус большой окружности; δ – коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Таблица 1.
Решение Применим теорему об изменении кинетической энергии системы: (1) где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы. Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 =0. Следовательно, уравнение (1) принимает вид: (2) Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1 , 2 , 3 и 4 : Т = Т1 + Т2 + 4Т3 + Т4 . (3) Кинетическая энергия груза 1 , движущегося поступательно, (4) Кинетическая энергия барабана 2 , совершающего вращательное движение, , (5) где J2 x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси: , (6) w2 – угловая скорость барабана 2 : .(7) После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид: . (8) Кинетическая энергия колеса 3 , совершающего плоскопараллельное движение: , (9) где VC 3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3 , J3 x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси: , (10) w3 – угловая скорость барабана 3 . Мгновенный центр скоростей находится в точке СV . Поэтому , (11) . (12) Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим: . (13) Кинетическая энергия груза 4 , движущегося поступательно . (14) Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15): Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем: или . (15) Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3). Работа силы тяжести : (16) Работа силы тяжести : (17) Работа пары сил сопротивления качению : (18) где (19) (20) (21) Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем: (22) Работа силы тяжести : (17) Работа силы тяжести : (23) Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24): . Подставляя заданные значения, получаем: Или . (24) Согласно теореме (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (16) и (24): , откуда выводим м/с. Дано: R2 =30; r2 =20; R3 =40; r3 =40 X=C2 t2 +C1 t+C0 При t=0 x0 =7 =0 t2 =2 x2 =557 см X0 =2C2 t+C1 C0 =7 C1 =0 557=C2 *52 +0*5+7 25C2 =557-7=550 C2 =22 X=22t2 +0t+7 =V=22t a==22 V=r2 2 R2 2 =R3 3 3 =V*R2 /(r2 *R3) =(22t)*30/20*40=0,825t 3 =3 =0,825 Vm =r3 *3 =40*(0,825t)=33t at m =r3 =0,825t at m =R3 =40*0,825t=33t an m =R3 2 3 =40*(0,825t)2 =40*(0,825(t)2 a= *********************************** Дано :R2 =15; r2 =10; R3 =15; r3 =15 X=C2 t2 +C1 t+C0 При t=0 x0 =6 =3 t2 =2 x2 =80 см X0 =2C2 t+C1 C0 =10 C1 =7 80=C2 *22 +3*2+6 4C2 =80-6-6=68 C2 =17 X=17t2 +3t+6 =V=34t+3 a==34 V=r2 2 R2 2 =R3 3 3 =V*R2 /(r2 *R3) =(34t+3)*15/10*15=3,4t+0,3 3 =3 =3,4 Vm =r3 *3 =15*(3,4t+0,3)=51t+4,5 at m =r3 =3,4t at m =R3 =15*3,4t=51t an m =R3 2 3 =15*(3,4t+0,3)2 =15*(3,4(t+0,08)2 a= Решение второй задачи механики Дано: m=4.5 кг; V0 =24 м/с; R=0.5V H; t1 =3 c; f=0.2; Q=9 H; Fx =3sin(2t) H. Определить: x = f(t) – закон движения груза на участке ВСРешение: 1) Рассмотрим движение на промежутке АВ
учитывая, что R=0.5VH; Разделяем переменные и интегрируем 2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0 =VB ) Дано: m =36 кг R =6 см=0,06 м H =42 см=0,42 м yC =1 см=0,01 м z С =25 см=0,25 м АВ=52 см=0,52 М=0,8 Н·м t 1 =5 с Найти реакции в опорах А и В . Решение Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера: (1) Для определения углового ускорения ε из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z по формуле , (2) где Jz 1 − момент инерции тела относительно центральной оси С z 1 , параллельной оси z ; d – расстояние между осями z и z 1 . Воспользуемся формулой , (3) где α , b , g - углы, составленные осью z 1 с осями x , h , z соответственно. Так как α=90º , то . (4) Определим моменты инерции тела , как однородного сплошного цилиндра относительно двух осей симметрии h , z ; . Вычисляем ; . Определяем угол g из соотношения ; ; . Угол b равен ; . По формуле (4), вычисляем . Момент инерции тела относительно оси вращения z вычисляем по формуле (2): , где d = yC ; . Из последнего уравнения системы (1) ; . Угловая скорость при равноускоренном вращении тела , поэтому при ω0 =0 и t = t 1 =5 c . Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции и тела. , так как ось х , перпендикулярная плоскости материальной симметрии тела, является главной осью инерции в точке А . Центробежный момент инерции тела определим по формуле , где , т.е. . Тогда . Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства Отсюда Ответ: , , , . Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории. Исходные данные: x=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); (1) t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). Решение: Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме. x2 + y2 = (5cos(pt2 /3))2 + (-5sin(pt2 /3))2 ; Получаем x2 + y2 = 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1. Вектор скорости точки (2) Вектор ускорения точки Здесь Vx , Vy , ax , ay – проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат. Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1) (3) По найденным проекциям определяем модуль скорости: V=Ö(Vx 2 + Vy 2 ); (4) и модуль ускорения точки: а =Ö(ах 2 +ау 2 ). (5) Модуль касательного ускорения точки аt =|dV/dt|, (6) аt = |(Vx ax +Vy ay )/V| (6’) Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное. Модуль нормального ускорения точки ап = V2 /p; (7) p – радиус кривизны траектории. Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом: an =Ö(а2 -at 2 ); (8) После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: p=V2 / an . (9) Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. Дополнительное задание: z=1.5tx=5cos(pt2 /3); y= -5sin(pt2 /3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения По найденным проекциям определяем модуль скорости: V=Ö(Vx 2 + Vy 2 +Vz 2 ); и модуль ускорения точки: а =Ö(ах 2 +ау 2 + аz 2 ). V=; a=24.3 см/с; Касательное ускорение точки аt = |(Vx ax +Vy ay + Vz az )/V| at =(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом: an =Ö(а2 -at 2 ); an =21.98 см/с2 . Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: p=V2 / an . р=5.1 см Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице
Задание: точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела в определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Дано: ОМ=Sr=120pt2 см; jе =8t2 – 3t рад ; t1=1/3 c; R=40 см. Решение: 1) Положение точки М на теле в определяется расстоянием Sr =ОМ при t=1/3 cSr =120p/9=41.89 см. При t=1/3с Vr =80p=251.33 см/с. ar t =d2 Sr /dt2 ar t =240p=753.98 см/с2 ar n =Vr 2 /R ar n =(80p)2 /40=1579.14 см/с2 2) Ve =we r , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М. a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см. wе =dje /dt=16t-3 при t=1/3 wе =7/3=2.33 с-1 Ve =80.83 см/с. ае ц =we 2 r ае ц =188.6 см/с2 . ае в =eе reе = d2 je /dt2 =16 с-2 ае в =554.24 см/с2 . 3) ас =2*wе Vr sin(wе , Vr ) sin(wе , Vr )=90-a=p/6 ac =585.60 см/с2 4) V=Ö(Ve 2 +Vr 2 ) V=264.01 см/с Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций. ax =aе в +ас ay =arn cos(p/3)+ar t cos(p/6) az =-ае ц - arn cos(p/6)+ar t cos(p/3) а=Ö(ax 2 +ay 2 +az 2 ) Результаты расчетов сведены в таблицу
Определение реакций опор твердого тела Дано : Q=10 kH; G=5 kH; a=40 см; b=30 см; c=20 см; R=25 см; r=15 см. Задание: Найти реакции опор конструкции. Решение: Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия. Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу.
Проверка. Составим уравнения относительно точки В. |