8. РУХ В НЕ
ІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
1. СИЛА ІНЕРЦІЇ В НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО.
Неінерціальною системою відліку (НІСВ) називають систему відліку (СВ), що рухається з прискоренням відносно інерціальної системи відліку (ІСВ).
Одержимо рівняння руху матеріальної точки відносно НІСВ. Рівняння руху – це співвідношення, якими визначаються прискорення матеріальних точок механічної системи в тій СВ, відносно якої розглядається рух.
ІСВ  будемо називати нерухомою СВ, а рух відносно неї – абсолютним. Рух відносно НІСВ  будемо називати відносним. НІСВ рухається відносно ІСВ з прискоренням; разом з системою  рухаються і всі тіла, що в ній знаходяться; цей рух називають переносним.
Положення м.т. М в нерухомій СВ визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т. О); в рухомій СВ  положення т. М визначається радіусом-вектором  (початок координат СВ  – т. ).  - це радіус-вектор рухомого початку відносно нерухомого О.
Як і раніше, час і простір вважаємо абсолютними, оскільки мова іде про повільні рухи (v<<c), тобто відстані і проміжки часу інваріантні по відношенню до переходу від однієї СВ до іншої.
Вектори  в будь-який момент часу пов’язані співвідношенням:
 (8.1)
Диференціюємо (8.1) двічі по t:
 (8.2)
 (8.3)
Обмежимося спочатку розглядом лише поступального руху системи . В цьому випадку  і  характеризують швидкість і прискорення не лише початку , а й будь-якої точки системи  відносно О, тобто  - це переносні швидкість і прискорення.  при поступальному русі дають відносну швидкість і відносне прискорення.  завжди дають абсолютну швидкість і абсолютне прискорення т. М:
 , (8.4)
 , (8.5)
причому  .
В ІСВ S рівнянням руху м. т. М є рівняння 2-го закону Ньютона:
 (8.6)
Підставимо (8.5) в (8.6):  ; перенесемо член, що містить переносне прискорення, в праву частину:
 (8.7)
Ми одержали рівняння відносного руху м.т. М. Праву частину (8.7) можна формально вважати якоюсь „силою”, що діє на м.т. Мв рухомій СВ. В цьому випадку рівняння руху м.т. в НІСВ за формою співпадає з ІІ законом Ньютона. Права частина (8.7) складається з двох складових.  є рівнодійна звичайних сил (в ньютонівському розумінні сила – це результат взаємодії тіл). Друга складова – ( ) виникає тому, що  рухається з прискоренням  . Її називають поступальною силою інерції:
 (8.8)
Якщо  не змінюється при переході від однієї СВ до іншої, то  не інваріантна відносно такого переходу. Крім того, сила інерції не підлягає дії закону рівності дії і протидії. Якщо на яке-небудь тіло діє сила інерції, то не існує протидіючої сили, що прикладена до другого тіла.
Сили інерції, подібно силам тяжіння, пропорційні масі тіла. Тому в однорідному полі сил інерції, як і в полі сил тяжіння, всі тіла рухаються з одним і тим же прискоренням, незалежно від їх маси. Знаходячись в кабіні космічного корабля, який рухається поступально з прискоренням  , модуль якого дорівнює g, ми виявимо, що всі тіла ведуть себе так, ніби на них діє сила  . Ті ж явища ми спостерігали б, якби корабель нерухомо стояв на Землі. Не „виглядаючи” з кабіни, ми не змогли б встановити, чим зумовлена сила  – прискореним рухом кабіни чи дією гравітаційного поля Землі (чи й обома причинами разом).
Ейнштейн висловив припущення, яке дістало назву принципу еквівалентності сил тяжіння і сил інерції:
Всі фізичні явища в однорідному полі тяжіння відбуваються так само, як і у відповідному однорідному полі сил інерції.
Принцип еквівалентності лежить в основі загальної теорії відносності Ейнштейна.
Отже, в СВ, що рухається поступально з прискоренням  , на всі тіла діє сила інерції  , що дорівнює добутку маси тіла на прискорення СВ, взяте з протилежним знаком.
Рівняння руху м.т. в такій НІСВ має вид:
 (8.9)
2. НІСВ, ЩО РІВНОМІРНО ОБЕРТАЄТЬСЯ.
Розглянемо тепер НІСВ  , яка рівномірно обертається навколо вісі, що проходить через т.О′ з кутовою швидкістю  . Для спрощення вважатимемо  , звідки  .
Рівняння (8.2) і (8.3) матимуть вид:  ,  .
Обчислимо похідні  .
Якщо x′, y′, z′ координати т. М в  , то:
 (8.10)
 .
Перший доданок - цевідносна швидкість м. т. М:
 (8.11)
Другий доданок перетворимо, використавши відоме співвідношення , або  :
 ,  , 
 Таким чином:
 (8.12)
Отже:
 , (8.13)
де  .
Диференціюємо (8.13) по t:
 ; оскільки  , то  .
При знаходженні  скористаємося тими ж міркуваннями, що і при знаходженні  :
 (використано вираз (8.12)).
Нарешті:
 (8.14)
В (14) останній доданок
 (8.15)
є переносним прискоренням; таке прискорення зазнає нерухома точка в CВ, що обертається.
Доданок  (8.16)
залежить як від відносного так і від переносного руху точки.
Це прискорення дістало назву коріолісового прискорення.
Отже:
 (8.17)
Абсолютне прискорення є векторною сумою відносного, коріолісового та переносного прискорень.
Це твердження називають теоремою Коріоліса.
 Обчислимо переносне прискорення. Розкладемо вектор на дві складові:   і  - перпендикулярну і паралельну вісі обертання.
 тому 
За властивістю подвійного векторного добутку:
 , (8.18)
оскільки 
Очевидно  в даному випадку ( і  ) є доцентровим прискоренням.
Підставимо тепер в (8.6) (8.17) і врахуємо (8.16) і (8.18):
 ;
 ;
 (8.19)
До „справжніх” сил додалися дві сили інерції:
коріолісова сила :  (8.20)
і відцентрова сила :  (8.21)
Коріолісова сила інерції виникає тільки тоді, коли CВ  обертається, а м.т. М рухається відносно цієї системи. При  і  .
 ,тому під час відносного руху вона роботи не виконує; змінює  тільки за напрямком .
Якщо система відліку  , крім обертового руху, здійснює ще й поступальний, то і  В цьому випадку переносна швидкість і переносне прискорення визначаться співвідношеннями :
 ,
а рівняння відносного руху м.т. в НІСВ має вид:
 (8.22)
|