СООТНОШЕНИЯ СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ В ЦЕПИ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ
1. Проводимость цепи
К цепи подведено напряжение  .
По 2 закону Кирхгофа запишем для мгновенных значений величин:
Комплекс действующего напряжения равен сумме комплексных значений падений напряжений:
Построим векторную диаграмму для этой схемы
Из векторной диаграммы (D 0АВ):
 ;
Отсюда:  – закон Ома для цепи переменного тока.
 – полное сопротивление цепи.
Если сопротивлений много, то  .
Аналогично можно записать из исходного уравнения:
 ,
где  – реактивное сопротивление цепи.
D 0АВ – треугольник напряжений:
Разделив каждую строчку треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивлений:
Угол j представляет собой угол сдвига фаз между током и напряжением:
 .
Активные, реактивные и полные проводимости цепи
 – комплексная проводимость цепи.
 ,
где  – активная проводимость цепи (при X=0 G=1/R).
 – реактивная проводимость цепи.
При X=XL
- XC
> 0 B > 0,
а при X=XL
- XC
< 0 B < 0.
С учетом проводимостей закон Ома принимает вид:
 ,
где Ia
– активная составляющая тока I;
Ip
– реактивная составляющая тока I.
Векторная диаграмма имеет вид:
Треугольник проводимостей:
 .
2. Законы Кирхгофа для цепей синусоидального тока
1-й закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных значений токов в узле равна нулю.
Или геометрическая сумма векторов, изображающих токи в узле, равна нулю.
Для действующих значений:  ;
для мгновенных значений:  .
2-й закон Кирхгофа: Если каждый участок контура электрической цепи содержит R, L, C элементы, тогда мгновенные значения ЭДС, действующие в замкнутом контуре, равны алгебраической сумме мгновенных значений падений напряжений на участках этого контура:
 .
Сумма комплексных значений ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна сумме комплексных значений падений напряжений на участках этого контура:
 .
3. Энергия и мощность в цепи синусоидального тока
с идеальными R, L, C элементами
В цепи постоянного тока мощность определялась выражением  .
Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением R, L, C элементов.
Запишем подведенное напряжение:  и ток  .
 . При yi
=0 yu
=j.
Если XL
>XC
, то j > 0 и наоборот.
Для мгновенных значений справедливо выражение:
 .
Отдельно здесь запишем:  .
 .
Результат:  – это выражение для мгновенной мощности.
Энергия, которая поступает в цепь, определяется средним значением мощности за период:
 .
Но  , поэтому  .
 – коэффициент мощности.
Из треугольника напряжений  , поэтому
 активная мощность.
Таким образом, среднюю мощность называют активной мощностью.
Рассмотрим цепь с активным элементом, т.е. j = 0.
 .
Построим график этой функции:
Мощность больше нуля, значит на активном элементе энергия поступает от источника в цепь и здесь тратится. Что это за энергия?:
 – это энергия тепловая.
Рассмотрим цепь с индуктивным элементом, т.е. j = p/2.
 .
Но и первое и второе выражения равны нулю, т.е. среднее значение мощности за период равно нулю. Из общего выражения для мгновенной мощности:
За период мощность дважды меняет знак.
Положительное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия поступает в цепь. Отрицательное значение мощности соответствует режиму, при котором энергия возвращается источнику. Таким образом идеальный индуктивный элемент энергии не потребляет.
Найдем значение энергии, поступающей с цепь за четверть периода:
 – это выражение для энергии магнитного поля.
Здесь мы сделали замену пределов интеграла:при t=0 i=0; при t=T/4 i=Im
.
Таким образом, энергия, поступившая в цепь с идеальным индуктивным элементом, преобразуется в энергию магнитного поля. Мощность положительна, когда ток растет по абсолютной величине.
В этот момент энергия поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля.
При уменьшении тока запасенная энергия в индуктивном элементе возвращается источнику, т.е. в такой цепи между источником и потребителем происходит непрерывный обмен энергиями.
Рассмотрим цепь с емкостным элементом, т.е. j = -p/2.
Из общего выражения для мгновенной мощности:
 . Здесь ток опережает напряжение. Тот же рисунок, но ток и напряжение поменяли местами
 – это энергия электрического поля.
Таким образом, в цепи с идеальным емкостным элементом имеют место процессы, аналогичные процессам в цепи с индуктивным элементом, но здесь колеблется энергия электрического поля.
В реальной электрической цепи имеют место одновременно оба явления: и необратимое преобразования энергии источника в тепло и обмен энергиями между источником и потребителями.
Полная, активная и реактивная мощности
– треугольник напряжений.
Умножим каждую сторону треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.
 – активная мощность, которая преобразуется в тепло или механическую работу [Вт].
 – реактивная мощность, которая затрачивается на создание магнитных и электрических полей, а затем возвращается к источнику, [вар].
 – полная мощность [ВА].
Мощность в символической форме
Пусть  ;
 .
В комплексной форме эти выражения:
 ;  ; .
Комплексно сопряженное значение тока:  .
Запишем выражение
 .
 – комплекс полной мощности.
Вещественная часть этого комплекса представляет активную мощность, а мнимая часть – реактивную мощность.
4. Уравнение баланса мощностей
В электрической цепи сумма активных мощностей, отдаваемых источником, равна сумме активных мощностей, потребляемых приемниками.
Аналогично утверждение и для реактивных мощностей.
 – для активных мощностей (реальная часть комплекса);
 – для реактивных мощностей (мнимая часть комплекса).
|