Контрольная работа: Уравнение равновесия. Проекция скорости точки

Название: Уравнение равновесия. Проекция скорости точки
Раздел: Рефераты по физике
Тип: контрольная работа

Задача1

Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.

Дано:

G=350 Н

α=60º

β=15º

γ=30

R_A , R_B - ?

T=G, т.к. трение в блоке отсутствует

Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.

ΣF_x =0

Tsin30-R_C sin60-R_B sin75=0

ΣF_y =0

G+Tcos30-R_B cos75-R_C cos60=0

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.

350sin30-R_С sin60-R_B sin75=-175-0,866R_С -0.966R_B =0

49,6-0,259R_B -0.5 (-202,1-1,1R_B ) =51,9+0,291R_B =0

R_B =-51,9/0.291=-178,35 Н

R_C =-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н

Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.

Ответ: R_B =-178,35 Н

R_C =-5,92 Н

Задача 2

По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?

Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.

Участок 1. t от 0 до 10 с

V₁ =const=10 м/с

Участок 2. t от 10 до 20 с

V₂ =2t-10

Участок 3. t от 20 до 30 с

V₃ =const=30 м/с

Участок 4. t от 30 до 40 с

V₄ =120-3t м/с

Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше

Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S₁ =10t

S₁ (10) =10·10=100

S₂ (10) =10² -10·10+C → C=100

S₂ (20) =20² -20·10+100=300

S₃ (20) =20·30+C=300 → C=-300

S₃ (30) =30·30-300=600

S₄ (30) =120·3-30² +C=600 → C=-1590

Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках

a₁ =

a₂ =2 м/с²

a₃ =0

a₄ =-3 м/с²

График зависимости перемещения от времени м/с²

График зависимости ускорения от времени

Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени

S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v

В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.

Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О₂ В=3r и скорость ползуна в при вертикальном положении кривошипа O₁ A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO₂ =3/5, угловая скорость кривошипа О₁ А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O₁ A равна r=0.1м.

Дано:

O₁ A=r=0,1 м

AB=CD=2r=0,2 м

O₂ B=3r=0,3 м

ω_OA ₁ =6 рад/с

α=60º

β=45º

ω_O2B , V_D - ?

Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.

Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.

Определим скорость V_A

V_A =ω_O1A ·r/2=6·0,1=0,6м. с (V_A ┴O₁ A)

Скорость V_A определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).

V_A =V_B cos30 → V_B =0.6/cos30=0,69м/c²

Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам V_A и V_B

ω_O ₂ _B = рад/с

Определяем V_D . Точка в принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление V_D .

Величину V_C найдем из пропорции

V_C = (V_C ┴СМЦС)

Скорость V_D определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).

V_D cos45=V_C cos15 → V_D =0,5·cos15/cos45=0,68 м/c²

Ответ: ω_O ₂ _B = рад/с; V_D =0,68 м/c²

Задача 3

Доска длиной l =6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v₀ =0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f =0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3 l, b=0.5 l, h=0.14 l.

Дано:

l=6м

v₀ =0.5м/с

f=0.6

a=0.3l

b=0.5l

h=0.14l

s - ?

Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое

ΣF _x =0-F _трА +Q cosα-F _тр _B =0

F _трА =F _трВ =f ·N =f ·Q sinα (Ra=Rb=N)

отсюда

Q cosα-2f ·Qsinα=0

Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение

m =mg (cosα-2f sinα)

=g (cosα-2f sinα)

Проинтегрируем полученное уравнение

=V_x =g (cosα-2f sinα) t+C₁

x =g (cosα-2f sinα) t+C₁ t+C₂

Найдем неизвестные cosα и sinα

sin² α+cos² α=1

Найдем постоянные С₁ и С₂

При t=0 V_x (0) =0.5 м/с → С₁ =0,5

При t=0 x (0) =0 → С₂ =0

Окончательно уравнение движения доски примет вид

V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5

x=-4.27t² +0.5t

Найдем время, когда доска остановится

V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c

Путь пройденный доской за это время

x=-4.27·0.06² +0.5·0.06=0.015 м

Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.

Задача 4

На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1 l , груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с² . Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4 l, c=0.2 l . Массу троса не учитывать.