Учебное пособие: Анализ дифференциальных уравнений
Название: Анализ дифференциальных уравнений Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие |
Лекция: Анализ дифференциальных уравнений Содержание 1. Основные понятия 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 2.1 Равноускоренное движение 2.2 Геометрические задачи 3. Дифференциальные уравнения первого порядка 3.1 Уравнения с разделяющимися переменными 1. Основные понятияДифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х , неизвестную функцию y=y (x) и ее производные y’, y’’,.y ( n) F (x, y, y', y ’’ ,.y (n)) = 0. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок входящей в него производной. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y=y (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Например, уравнение y’’=y’ представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, а функции y (x) = C1 e x + C2 являются его решениями при любых постоянных C1 и C2 . Процедура поиска решения дифференциального уравнения называется его интегрированием , а графики его решений - интегральными кривыми . Всякое дифференциальное уравнение порядка n имеет бесчисленное множество решений. Все эти решения определяются функцией, содержащей n произвольных постоянных y =φ (x,C1 ,C2 .Cn ). Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Частным решением дифференциального уравнения называется всякая функция этого семейства, отвечающая конкретному набору постоянных C1 ,C2 .Cn . Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых плоскости XOY
, а частное решение - конкретную кривую этого семейства. Например, непосредственным дифференцированием легко проверить, что общим решением дифференциального уравнения y
¢y x
=0
является функция y
=
Начальными условиями для дифференциального уравнения порядка n называется набор значений функции y (x) и ее производных порядка n-1 включительно y ¢ (x), y ¢ (x),.y (n1) (x) в некоторой точке x0 . Задачей Коши называется задача об отыскании решения дифференциального уравнения F (x, y, y ¢, y ¢,.y (n)) =0, удовлетворяющего заданным начальным условиям: y ( x0 ) = y0 , y’ ( x0 ) = y1 , y’’ ( x0 ) = y2 ,. y ( n-1) ( x0 ) =yn-1 . Геометрически это означает, что в общем решении уравнения y = j (x,C1 ,C2 .Cn ) необходимо так подобрать константы C1 ,C2 .Cn , чтобы соответствующая им интегральная кривая проходила через точку плоскости (x0 , y0 ) и в этой точке имела заданные значения всех своих производных до порядка n-1 . Например, решением задачи Коши y¢y x =0, y (0) =2 является окружность x 2 + y2 = 4 . Чтобы получить это решение необходимо в общее решение уравнения x 2 + y2 = C2 подставить заданные начальные условия x=0 и у=2 и из него найти требуемое значение постоянной C=2. Приведем без доказательства одну из основополагающих теорем теории ДУ. Теорема 1. ( существования и единственности решения задачи Коши) Если функция F (x, y, y ¢, y ¢,.y (n)) непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей точку (x0 , y0 ), то в этой области существует и притом единственно решение дифференциального уравнения F (x, y, y ¢, y ¢,.y (n)) = 0, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y ( x0 ) = y0 , y’ ( x0 ) = y1 , y’’ ( x0 ) = y2 ,. y ( n-1) ( x0 ) =yn-1 . 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям2.1 Равноускоренное движениеПусть в начальный момент времени t=0 материальная точка имеет начальное положение S (0) =0, начальную скорость V (0) = V0 и далее движется прямолинейно с постоянным ускорением a (t) =a . Если S (t) и V (t) - соответственно путь, пройденный точкой за время t , и ее скорость в момент времени t , то, как известно S¢ (t) =V (t) и V ¢ (t) =a (t) =a. То есть, функция перемещения S (t) является решением дифференциального уравнения S ¢¢ (t) =a . Это решение будем искать, интегрируя уравнение дважды. V (t) =S ¢ (t) = òS ¢' (t) dt = òadt =at C, V (0) =V0 ÞC =V0 Þ V ( t) = V0 at.
2.2 Геометрические задачиПусть, например, требуется найти линию, проходящую через точку А (1,2) и обладающую следующим свойством: для любой ее касательной отрезок этой касательной, заключенный между осями системы координат, в точке касания делится пополам. Для решения этой задачи обозначим через y (x) уравнение искомой линии и пусть M (x0 , y0 ) - ее произвольная фиксированная точка. Касательная к кривой в этой точке имеет уравнение y - y (x0 ) = y' (x0 ) (x - x0 ) Найдем ординаты точек пересечения этой касательной с осями системы координат. Ясно, что xB = 0 и yC = 0. Тогда: Так как x0 - произвольная точка, то искомая функция должна удовлетворять дифференциальному уравнению первого порядка Для произвольной постоянной С
функция 3. Дифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальное уравнение первого порядка есть уравнение вида F (x, y, y ¢) =0. Далее мы будем полагать, что это уравнение разрешено относительно производной: y ¢ =f (x, y). Это уравнение так же можно записать в дифференциальной форме: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0. Общих методов решения дифференциальных уравнений первого порядка не существует, однако для некоторых важных классов функций f (x,y) такие методы известны и приводят к общему решению уравнения. Рассмотрим некоторые из этих классов. 3.1 Уравнения с разделяющимися переменнымиТак называется уравнение, правая часть которого представляет собой произведение функции, зависящей только от х , и функции, зависящей только от у .
Для поиска решения такого уравнения выразим входящую в него производную через дифференциалы Теперь разделим переменные (В последнем уравнении переменные х и у разделяет знак равенства). Проинтегрировав обе части последнего равенства получаем общее решение уравнения в виде неявно заданной функции: G (y) =F (x) +C . Рассмотрим практический пример: Найти общее решение уравнения y' = y cos x. Решение . Правая часть уравнения представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит от х , а другая от у . Следовательно - это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим производную через дифференциалы и разделим переменные: Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения: Пример 2
. Решить задачу Коши Решение . Сначала найдем общее решение дифференциального уравнения. В полученное общее решение подставим заданные начальные условия x=1 и у=1 : 0=ln1=acrtg1+С=π /4+С. Значит, частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, получается из его общего решения при значении постоянной С=-π/4. Решением задачи Коши является функция lny=acrtgx-π/4 , или y = e arctg x - π / 4. Однородные уравнения. Так называются уравнение вида y =x ×z, Þy ¢ = (x ×z) ¢ Þy ¢ =z xz ¢ и для функции z (x) получаем уравнение с разделяющимися переменными Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x). Пример 1
. Найти общее решение уравнения Решение . Разрешим уравнение относительно производной и обозначим Это уравнение с разделяющимися переменными. Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения Отсюда Подставив в последнее равенство z=y/x , найдем общее решение исходного уравнения
Пример 2 . Решить задачу Коши Отсюда z= 2 arctg ( Cx) и, значит, y= 2 x× arctg ( Cx). Подставив в это равенство начальные условия x=1 и y = π / 2 , получим arctg (C) = π / 4, то есть С=1 . Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx. Линейные уравнения. Так называются дифференциальные уравнения вида y ¢p (x) y =q (x). Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда y ¢ =u ¢v uv ¢ и относительно функций u и v уравнение примет вид u ¢v u (v ¢p (x) v) =q (x). Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v , поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными v ¢p (x) v =0 . Разделяя переменные и интегрируя, получим Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение
Интегрируя последнее уравнение, получим Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv. Уравнение Бернулли. Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли y ¢p (x) y =q (x) y . Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения. |