Контрольная работа: Некоторые понятия высшей матаматики
Название: Некоторые понятия высшей матаматики Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа |
Высшая математика Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год. Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы. Минор ом для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца. Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. Bpq согласовано с Amn , если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование. 1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0. 2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0. 3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов. 4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак. 5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю. 6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение. Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения. Ранг матрицы. Ранг нулевой матрицы равен 0. Ранг единичной матрицыnm равен n. Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк. При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным. При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным. Лекция 5.
Замечание: 1) 2) а) r=n – одно решение б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров. Векторная алгебра
Проекция вектора на ось: Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’ B’ | взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.
Скалярное произведение векторов
Признак перпендикулярности Векторное произведение векторов
Объем пирамиды Смешанное произведение векторов
Если Условие коллинеарности ab=0 – перпендикулярность
abc=0 – компланарность Аналитическая геометрия
Плоскость в пространстве Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
каноническое уравнение (1) Общее уравнение плоскости
где А, В, С – координаты нормали, в – свободный член, x,y,z – текущий координаты. Уравнение плоскости, проходящий через точку Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде Уравнение плоскости в отрезках Нормальное уравнение плоскости Нормирующий множитель Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Условия параллельности и перпендикулярности Уравнение пучка плоскостей: Прямые линии в пространстве.
Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки Угол между 2 прямыми
Взаимное расположение 2 прямых. 1. 2. 3. Взаимное расположение прямой и плоскости 1. 2. 3. Угол между прямой и плоскостью 4.
Аналитическая геометрия на плоскости .
Прямоугольная декартова система координат на плоскости Расстояние между 2 точками Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении Уравнение прямой на плоскостиAx+By+C=0; Уравнение прямой в отрезках Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом Расстояние от точки до прямой 1. 2. 3.
Окружность Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R Уравнение окружности с центром в начале координат Эллипс Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1
и F2
; 2а – сумма расстояний от точки М до F1
и F2
(a – большая полуось эллипса). Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид Число
Гипербола Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами. Если M (x;y) – точка гиперболы; F1
, F2
– фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов Каноническое уравнение гиперболы Гипербола пересекает ось Ох в точках Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Эксцентриситет гиперболы
Парабола Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение
имеет вид Эксцентриситет параболы Общее уравнение второго порядка
Параллельный перенос
:
Поворот осей
:
Если Если Если Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда (1) 1. (1) (2)
а)
A`C`>0 (одного знака) Если F``>0, то пустое множество Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0) Если F``<0, то получим эллипс в виде б)
A`= Если F0
=0, то Если F0
>0, то Если F0
<0, то в)
а) D`=E`=0, пусть б) ** в (5)
Теория пределов Число а называется пределом последовательности
xn
для любого ( Предел последовательности Под числовой последовательностью
Число a называется пределом последовательности
xn
(x=1,2,…): 1) 2) xn +1 = xn + d – рекуррентная формула. 3) Числа Фибоначчи.
(1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1
, x2
=1 и
1. 2. Основные теоремы пределах 1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела. 2. Предельный переход в неравенстве. 3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности. |