Контрольная работа: Вычисления по теории вероятностей
Название: Вычисления по теории вероятностей Раздел: Рефераты по математике Тип: контрольная работа | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия; б) не более 2 изделий. Решение. А) Используя классическое определение вероятности: Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия; m – кол-во благоприятных исходов события А; n – количество всех возможных исходов; Б) Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий, ; – кол-во благоприятных исходов события ; – кол-во благоприятных исходов события ; – кол-во благоприятных исходов события ; n’ – количество всех возможных исходов; Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%. Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей. Решение. По формуле полной вероятности: где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали. ; (т. к. ) = 1% = 0.01) ; ; Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%. Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата. Решение. По формуле полной вероятности: где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали. ; (согласно условию) ; ; Согласно формуле Байеса: Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%. Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену? Решение. Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков: где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену. . Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3. Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05. Все промежуточные вычисления поместить в таблице.
Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине. Формулируем гипотезы Н0 и Н1 : Н0 : a1 = a2 Н1 : a1 ≠ a2
a1 = = = 29,485, a2 = = 1 = = 73.32 2 = = n 1 = n 2 = n =6 Вычислю выборочное значение статистики: ZВ = * = Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1 +n2 -2)= 2.228. Следовательно, так как ZВ =0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0 , потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором. Задача 6. По данному статистическому ряду: 1. Построить гистограмму частот. 2. Сформулировать гипотезу о виде распределения. 3. Найти оценки параметров распределения. 4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины. Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.
1. Гистограмма частот: 2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение. 3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:
Найдем оценки параметров распределения: = = 5,523 2 = 2 = 2,925 = = 1,71 4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.
Где: t1 = , t2 = , ai , bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона. pi = Ф(t2 ) – Ф(t1 ) Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:
Согласно расчетам, = = 9,5876 Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении. 0,95 (7–2–1) = 0,95 (4) = 9,49. Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается. Задача 7. По данным выборки вычислить: а) выборочное значение коэффициента корреляции; б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции. Решение Формулируем гипотезы Н0 и Н1 : Н0 : a1 = a2 Н1 : a1 ≠ a2
a1 = = 4,876, a2 = = 3,74 1 = = 0,7708 2 = = 1,0736 n 1 = n 2 = n =6 а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции = б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции: (n-2)=2,306 Вычислим величину = получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым. Задача 8. По данным выборки найти: а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии; б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
Решение а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
Математическое ожидание: m== Дисперсия: δ2== б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности. Определим из таблиц значение , где ; Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид: Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания: 0,271<M<12.927 Доверительный интервал для дисперсии имеет вид: Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79. |