Реферат: Конечные разности. Погрешности
Название: Конечные разности. Погрешности Раздел: Рефераты по экономико-математическому моделированию Тип: реферат |
Реферат « Конечные разности. Погрешности» 1. Погрешности 1.1 Действительные и конечно-разрядные числа Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий. Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает где n – число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы. Приближенное конечно-разрядное
число a
– это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную Если число a
= 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность
принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е. Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность: где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,
Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов). Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:
Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов. 1.2 Погрешность алгоритмов Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки. Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r
каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель P:=0; j:=3; repeat S:=a[j]*x+a [j-1]; P:=P+S*x; j:=j-1; until j=1; функция алгоритма будет: Учитывая, что Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида:
2. Конечные разности 2.1 Определение конечных разностей Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i
-той точке определяется выражением: Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h
функции
Преобразование таблицы функции Коэффициенты a
и b
находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x
и i
сначала начальных значений аргументов
Повторные конечные разности n
-го порядка в i
-той точке для табличной функции
2.2 Конечно-разностные операторы Линейность конечно-разностного оператора Действие любого многочлена
Применение оператора сдвига к g (i ) преобразует последнее в g (i +1): g
(i
+1) = E g
(i
) =
(1+ Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n ) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков: где
В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как Последнее позволяет формульно выражать n -ную повторную разность через (n +1) ординату табличной функции, начиная с i -той строки: Если в выражении для g
(i+n
) положить i
=0 и вместо
Можно поставить задачу разложения и функции действительной переменной f
(x
) по многочленам
Такое разложение табличной функции f (x ) в литературе называют интерполяционным многочленом Ньютона для равных интервалов. 2.3 Взаимосвязь операторов разности и дифференцирования Значение функции на удалении h
от некоторой точки где
h – шаг по оси действительной переменной Из равенства операторов сдвига, выраженных через p
и
Оператор дифференцирования порядка n , перенесенный в точку, удаленную от текущей, например, на 2 шага вперед представляется так:
Выполнив алгебраическое перемножение многочленов с конечно-разностными операторами и ограничившись операторами со степенью не выше n
, получим одну из возможных аппроксимаций оператора дифференцирования. Действуя таким сложным конечно-разностным оператором на ординату f
(x
),
получаем формулу для вычисления n
-й производной в точке
Если f (x ) является многочленом степени n , то повторные разности (n +1) – го порядка тождественно равны нулю. Приравнивая нулю повторные разности порядков выше n мы фактически аппроксимируем f (x ) многочленом степени n . В предыдущем выражении, выразив повторные разности через ординаты табличной функции, получим еще один вид формулы для вычисления значения производной:
Для целочисленного аргумента табличной функции запись выражения можно упростить, если положить h
=1 и 2.4 Исчисление конечных разностей Разложение функций в ряд по факториальным многочленам (интерполяционным многочленам Ньютона в частности) дает возможность получать формулы суммирования функциональных рядов в виде аналитических выражений, зависящих от пределов. Эта возможность открывается в связи с тем, что суммировать конечные разности не представляет большой сложности, а выразить конечную разность от факториального многочлена через факториальный же многочлен можно, воспользовавшись соотношением: Факториальные многочлены по отношению к исчислению разностей ведут себя так же, как степенные функции в исчислении производных: дифференцирование тоже понижает степень многочлена на единицу. Это свойство позволяет в факториальном разложении заменить факториальные многочлены своими конечными разностями следующего вида: Замена хороша тем, что суммирование конечных разностей в заданных пределах мнемонически весьма напоминает вычисление определенного интеграла от функции по ее первообразной: Если
Процедуру суммирования функционального ряда продемонстрируем на примере получения суммы квадратов натурального ряда чисел в пределах от a
=1 до b
=5 (Для проверки: Вторая сумма по переменной n
представляет разложение
После подстановки значений разностей во второй сумме останутся два факториальных полинома: первой и второй степеней: Если распределить вычисление сумм по слагаемым, то мы перейдем к суммированию конечных разностей от факториальных многочленов:
Литература 1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с. 2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. – М.: Наука, 1966. – 248 с. 3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с. 4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с. 5. Калашников В.И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ «ХПИ», 2002. – 196 с. 6. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с. 7. Волков, Е.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с. 8. Мудров, А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991. 272 с. 9. Шуп, Т.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с. 10. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с. |