Файл: FERMA-FIN ©Н. М. Козий, 2008
Свидетельства Украины № 27312и 28607
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
Аn
+ Вn
= Сn
* /1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:
Аn
+ Вn
= Сn
= (A+B)[An-1
-An-2
·B +An-3
·B2
- …-A·Bn-2
+Bn-1
] /2/
Полагаем, что Aи B – целые положительные числа.
Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел Aи Bмножитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.
* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.
Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:
А1
+ В1
= С1
А + В= С/3/
Следовательно, число (А + В) является делителем числа С.
Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:
Сn
= An
+ Bn
=(A+B)n
∙ Dn
, /4/
где число Dтакже должно быть целым числом.
Из уравнения /4/ следует:
 /5/
Из уравнения /4/ также следует, что число [Cn
=An
+ Bn
] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n
. Однако известно, что:
An
+ Bn
< (A+B)n
/6/
Следовательно:
 - дробное число, меньшее единицы. /7/
 - дробное число.
Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени nуравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2q
, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:
n= pkm = 2q
∙km, /8/
где: p=2q
;
q =1, 2, 3,…;
k =1,3,5,7,9,…;
m=3,5,7,9,11,…
Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом:
Сn
= An
+ Bn
=Apkm
+ Bpkm
= (Apk
)m
+ (Bpk
)m
/9/
Поскольку показатель степени m– нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:
Cn
= Cpkm
= (Apk
+ Bpk
)∙[ (Apk
)m
-1
- (Apk
)m
-2
∙Bpk
+
+ (Apk
)m
-3
∙(Bpk
)2
-…- Apk
∙(Bpk
)m
-2
+ (Bpk
)m
-1
] /10/
При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом:
Cn
= Cpkm
= (Apk
+ Bpk
)m
∙ Dpkm
/11/
Dpkm
= (Apkm
+ Bpkm
) / (Apk
+ Bpk
)m
/12/
В соответствии с уравнением /6/:
(Apkm
+ Bpkm
) < (Apk
+ Bpk
)m
/13/
Следовательно, число Dpkm
– дробное число, меньшее единицы.
Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2q
∙kmуравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2q
.
Для показателя степени n =2q
существует иное доказательство великой теоремы Ферма.
Автор: Николай Михайлович Козий,
инженер-механик
|