Введение
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
Логарифмические уравнения и неравенства
1. Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga
x
= b
. (1)
Утверждение 1. Если a
> 0, a
≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b
имеет единственное решение x
= ab
.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2
x
= 3, b) log3
x
= -1, c) 
Решение. Используя утверждение 1, получим a) x
= 23
или x
= 8; b) x
= 3-1
или x
= 1
/3
; c)  или x
= 1.
Приведем основные свойства логарифма.
Р1. Основное логарифмическое тождество:
где a
> 0, a
≠ 1 и b
> 0.
Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga
N
1
·N
2
= loga
N
1
+ loga
N
2
(a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Замечание. Если N
1
·N
2
> 0, тогда свойство P2 примет вид
loga
N
1
·N
2
= loga
|N
1
| + loga
|N
2
| (a
> 0, a
≠ 1, N
1
·N
2
> 0).
Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
 (a
> 0, a
≠ 1, N
1
> 0, N
2
> 0).
Замечание. Если  , (что равносильно N
1
N
2
> 0) тогда свойство P3 примет вид
 (a
> 0, a
≠ 1, N
1
N
2
> 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga
N
k
= k
loga
N
(a
> 0, a
≠ 1, N
> 0).
Замечание. Если k
- четное число (k
= 2s
), то
loga
N
2s
= 2s
loga
|N
| (a
> 0, a
≠ 1, N
≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
 (a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1, N
> 0),
в частности, если N
= b
, получим
 (a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, b
≠ 1). (2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
 (a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (3)
 (a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (4)
 (a
> 0, a
≠ 1, b
> 0, c
≠ 0), (5)
и, если в (5) c
- четное число (c
= 2n
), имеет место
 (b
> 0, a
≠ 0, |a
| ≠ 1). (6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f
(x
) = loga
x
:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a
> 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x
1
< x
2
loga
x
1
< loga
x
2
), а при 0 < a
< 1, - строго убывает (0 < x
1
< x
2
loga
x
1
> loga
x
2
).
4. loga
1 = 0 и loga
a
= 1 (a
> 0, a
≠ 1).
5. Если a
> 1, то логарифмическая функция отрицательна при x
(0;1) и положительна при x
(1;+∞), а если 0 < a
< 1, то логарифмическая функция положительна при x
(0;1) и отрицательна при x
(1;+∞).
6. Если a
> 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a
(0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.
Утверждение 2. Уравнение loga
f
(x
) = loga
g
(x
) (a
> 0, a
≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)
 |
f
(x
) = g
(x
), |
|
f
(x
) = g
(x
), |
| f
(x
) > 0, |
g
(x
) > 0. |
Утверждение 3. Уравнение logh
(x
)
f
(x
) = logh
(x
)
g
(x
) равносильно одной из систем
 |
f
(x
) = g
(x
), |
|
f
(x
) = g
(x
), |
| h
(x
) > 0, |
h
(x
) > 0, |
| h
(x
) ≠ 1, |
h
(x
) ≠ 1, |
| f
(x
) > 0, |
g
(x
) > 0. |
Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ
) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения
f
(x
) = g
(x
) иloga
f
(x
) = loga
g
(x
)
или
loga
[f
(x
)·g
(x
)] = b
иloga
f
(x
) + loga
g
(x
) = b
вообще говоря, неравносильны (ОДЗ
уравнений справа уже).
Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.
2. Использование определения логарифма
Пример 1. Решить уравнения
| a) log2
(5 + 3log2
(x
- 3)) = 3, |
c) log(x
- 2)
9 = 2, |
b)  |
d) log2x
+ 1
(2x
2
- 8x
+ 15) = 2. |
Решение. a) Логарифмом положительного числа b
по основанию a
(a
> 0, a
≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a
, чтобы получить b
. Таким образом, loga
b
= c
, b
= ac
и, следовательно,
5 + 3log2
(x
- 3) = 23
или
3log2
(x
- 3) = 8 - 5, log2
(x
- 3) = 1.
Опять используя определение, получим
x
- 3 = 21
, x
= 5.
Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:
log2
(5 + 3log2
(5 - 3)) = log2
(5 + 3log2
2) = log2
(5 + 3) = log2
8 = 3.
Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x
= 5 есть решение исходного уравнения.
b) Аналогично примеру a), получим уравнение
откуда следует линейное уравнение x
- 3 = 3(x
+ 3) с решением x
= -6. Сделаем проверку и убедимся, что x
= -6 является корнем исходного уравнения.
c) Аналогично примеру a), получим уравнение
(x
- 2)2
= 9.
Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x
2
- 4x
- 5 = 0 с решениями x
1
= -1 и x
2
= 5. После проверки остается лишь x
= 5.
d) Используя определение логарифма, получим уравнение
(2x
2
- 8x
+ 15) = (2x
+ 1)2
или, после элементарных преобразований,
x
2
+ 6x
-7 = 0,
откуда x
1
= -7 и x
2
= 1. После проверки остается x
= 1.
3. Использование свойств логарифма
Пример 3. Решить уравнения
| a) log3
x
+ log3
(x
+ 3) = log3
(x
+ 24), |
| b) log4
(x
2
- 4x
+ 1) - log4
(x
2
- 6x
+ 5) = -1
/2
|
| c) log2
x
+ log3
x
= 1 |
Решение. a) ОДЗ
уравнения есть множество x
(0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)
 |
x
> 0, |
| x
+3 > 0, |
| x
+24 > 0. |
Используя свойство P2 и утверждение 1, получим
| | log3
x
+ log3
(x
+ 3) = log3
(x
+ 24) |
| |
log3
x
(x
+ 3) = log3
(x
+ 24), |
| x
> 0, |
|
| | |
x
(x
+ 3) = x
+ 24, |
| x
> 0, |
| | |
x
2
+ 2x
- 24 = 0, |
| x
> 0, |
|  |
 |
x
1
= -6, |
| x
2
= 4, |
| x
> 0, |
x
= 4. |
b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения
откуда, используя определение логарифма, получим
или
x
2
- 4x
+ 1 = 1
/2
(x
2
- 6x
+ 5),
откуда получаем уравнение
x
2
- 2x
- 3 = 0
с решениями x
1
= -1 и x
= 3. После проверки остается лишь x
= -1.
c) ОДЗ
уравнения: x
(0;+). Используя свойство P5, получим уравнение
log2
x
(1 + log3
2) = 1,
откуда  или  или log2
x
= log6
3. Следовательно, 
Логарифмические неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если a
> 1, то неравенство loga
f
(x
) > loga
g
(x
) равносильно системе неравенств
 |
f
(x
) > g
(x
), |
| g
(x
) > 0. |
Утверждение 2. Если 0 < a
< 1, то неравенство loga
f
(x
) > loga
g
(x
) равносильно системе неравенств
|
f
(x
) < g
(x
), |
| f
(x
) > 0. |
Утверждение 3. Неравенство logh
(x
)
f
(x
) > logh
(x
)
g
(x
) равносильно совокупности систем неравенств
 |
 |
h
(x
) > 1, |
| f
(x
) > g
(x
) > 0, |
|
0 < h
(x
) < 1, |
| 0 < f
(x
) < g
(x
). |
Подчеркнем, что в неравенстве loga
f
(x
) > loga
g
(x
) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример 1. Решить неравенства
| a) log3
(x
2
- x
) ≥ log3
(x
+ 8); |
b)  |
c)  |
Решение. a) Используя утверждение 1 , получим
| log3
(x
2
- x
) ≥ log3
(x
+ 8) |
x
2
- x
≥ x
+ 8, |
|
x
2
- 2x
- 8 ≥ 0, |
| x
+8 > 0, |
x
> -8, |
 |
 |
x
≤ -2, |
| x
≥ 4, |
x
 (-8;-2] [4;+∞). |
| x
> -8, |
b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим
c) Запишем 0 = log2
1 и, используя утверждение 1, получим
Запишем  и, используя утверждение 2, получим
Показательные уравнения и неравенства
1. Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением является уравнение вида
Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению
Пример 1. Решить уравнение
 .
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:
 .
Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:
Если после введения новой переменной  показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x
через y
,
используя решение простейшего показательного уравнения.
2. Показательные неравенства
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a
> 1, неравенство
a
f
(x
)
> a
g
(x
)
равносильно неравенству
f
(x
) > g
(x
).
Аналогично, a
f
(x
)
< a
g
(x
)
; f
(x
) < g
(x
).
A.2. Если 0 < a
< 1, неравенство
a
f
(x
)
> a
g
(x
)
равносильно неравенству
f
(x
) < g
(x
).
Аналогично, a
f
(x
)
< a
g
(x
)
; f
(x
) > g
(x
).
A.3. Неравенство
| [h
(x
)]f
(x
)
> [h
(x
)]g
(x
)
|
(
1) |
равносильно совокупности систем неравенств
 |
 |
h
(x
) > 1, |
| f
(x
) > g
(x
), |
|
0 < h
(x
) < 1, |
| f
(x
) < g
(x
). |
Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай
|
h
(x
) = 1, |
| x
D
(f
); D
(g
), |
где D
(f
) (D
(g
)) означает область определения функции f
(g
).
A.4. Если b
≥ 0, неравенство
af
(x
)
< b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b
≤ 0, множеством решений неравенства af
(x
)
> b
является x
D
(f
).
A.6. Если a
> 1, b
> 0, неравенство
af
(x
)
> b
равносильно неравенству
f
(x
) > loga
b
.
Аналогично, a
f
(x
)
< b
; f
(x
) < loga
b
.
A.7. Если 0 < a
< 1, b
> 0, неравенство
a
f
(x
)
> b
равносильно неравенству
f
(x
) < loga
b
.
Аналогично, a
f
(x
)
< b
; f
(x
) > loga
b
.
Упражнение 1. Решить неравенства:
a)  |
| b) (0.3)|2x
-3|
< (0.3)|3x
+4|
, |
c)  |
Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство
которое решается методом интервалов,
b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство
|2x
-3| > |3x
+4|,
которое решается, используя свойства модуля (|a
| > |b
| (a
-b
)(a
+b
) > 0):
|2x
-3| > |3x
+4|  ((2x
-3)-(3x
+4)) ((2x
-3)+(3x
+4)) > 0 (-x
-7)(5x
+1) > 0
Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x
(-7;-1
/5
).
c) Используя утверждение A.3, получим
|  |
|
4x
2
+2x
+1 > 1, |
| x
2
-x
> 0, |
 |
4x
2
+2x
+1 < 1, |
| 4x
2
+2x
+1 > 0, |
| x
2
-x
< 0 |
|  |
 |
|
x
> 0, |
| x
< -1
2
, |
|
x
> 1, |
| x
< 0, |
 |
x
(-1
2
;0), |
| x
R, |
| x
(0;1). |
| |
| x
(- ; -1
2
) (1;+), |
x
 |
|  x
(-;- 1
2
) (1;+). |
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
Список литературы
1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975
2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004
3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.
4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980
5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970
|