| ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Степенные ряды
Содержание
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
5. Приложения степенных рядов
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.
Определение 1.1
. Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
 .(1.1)
Здесь  – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами
степенного ряда; а
– некоторое постоянное число, х
– переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.
При  степенной ряд (1.1) принимает вид
 . (1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности
 , ряд (1.2) – рядом по степеням
х
.
Если переменной х
придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2
. Областью сходимости степенного ряда
называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки  приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля)
:
если степенной ряд (1.2) сходится при  , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству  .
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ,
где
R
– некоторое неотрицательное действительное число или  .
Число R
называется радиусом сходимости
, интервал – интервалом сходимости
степенного ряда (1.2).
Если  , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось  .
Если  , то интервал сходимости вырождается в точку  .
Замечание:
если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то  – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R
и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при  и  .
Радиус сходимости R
степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
формула Даламбера:
 ;(1.3)
формула Коши:
 .(1.4)
Если в формуле Коши  , то полагают , если  , то полагают .
Пример 1.1.
Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда  .
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
 ,  .
Тогда  .
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид  .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При  степенной ряд превращается в числовой ряд
 .
который расходится как гармонический ряд.
При  степенной ряд превращается в числовой ряд
 .
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и  . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток  – область сходимости данного степенного ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию  , определенную в интервале сходимости  , т. е.
 .
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1.
Функция является непрерывной на любом отрезке  , принадлежащем интервалу сходимости .
Свойство 2.
Функция дифференцируема на интервале  , и ее производная  может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
 ,
для всех
 .
Свойство 3.
Неопределенный интеграл от функции
для всех
 может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех
.
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R
не меняется, однако его сходимость на концах интервала
может измениться.
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Пример 2.1.
Рассмотрим степенной ряд
 .
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
 .(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал  .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при  и при  .
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
 .
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости  :  , который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
 ,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом  .
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки  , т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1.
Рядом Тейлора
функции в точке называется степенной ряд
 . (3.1)
В частном случае при  ряд (3.1) называется рядом Маклорена
:
 . (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции
в окрестности точки совпадает с функцией
?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции
сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции 
к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале  функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е.  , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1.  . Для этой функции  ,  .
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
 . (3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
 .
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении  .
Все производные функции  на любом отрезке  ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
 . (3.4)
2.  . Для этой функции  ,  ,  .
Отсюда следует, что при  производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
 .
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
  .
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
 . (3.5)
3.  . Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции  и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом  .
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4. 
 – биномиальный ряд
( – любое действительное число).
Если  – положительное целое число, то получаем бином Ньютона
:
 .
 – логарифмический ряд
.
 .
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х
:
 ;  ;  ;  ;
 ;  .
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.
|