Реферат: Эрмитовы операторы

Эрмитовы операторы

Содержание

Линейные операторы

Линейные уравнения

Эрмитовы операторы

Линейные операторы

Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство

L(λ+ μ g ) = λLf + μ Lg (1)

При этом множество M = M_L называется областью определения оператора L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.

Линейные уравнения

Пусть L — линейный оператор с областью определения M_L . Уравнение

Lu = F (2)

называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из M_L — решением этого уравнения.

Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение

Lu = 0 (3)

называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).

В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.

Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения и_о этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)

и = и_о + ŭ .

Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в M_L , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в M_L . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в M_L . Обозначим через R_l область значений оператора L , т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает M_L . Тогда для любого F Є R_l уравнение (2) имеет единственное решение и Є M_L , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из R_l соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L ^-1 , так что

и = L ^-1F . (4)

Оператор L^-1 , очевидно, является линейным и отображает R_l на M_L . Непосредственно из определения оператора L ^-1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:

L L ^-1F = F , F Є R_l ; L ^-1 Lu = u , и Є M_L ,

т.е. L L ^-1 = I , L ^-1 L = I .

Если линейный оператор L имеет обратный L ^{- 1} , то системы функций {φ _k } и { L φ _k } одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ _k принадлежат M_{L .} )

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Lu = λu , (5)

где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из M_L . Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из M_L , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r , 1 ≤ r ≤ ∞ , линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.

Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u ₁ ,...,и₂ — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация

u ₀ = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ + ... + c_r u_r

также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения

Lu = λ u + f (6)

существует, то его общее решение представляется формулой

и = и* +∑с _k и _k , (7)

где и* — частное решение (6) и с _k , k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.

Эрмитовы операторы

Линейный оператор L , переводящий M_L СL ₂ ( G ) в L₂ (G), называется эрмитовым, если его область определения M_L плотна в L₂ (G) и для любых f и g из M_l справедливо равенство

( Lf , g ) = ( f , Lg ).

Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L .

Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є M_l , где M_l плотна в L₂ (G), принимала только вещественные значения.

Линейный оператор L , переводящий M_l С L₂ (G) в L₂ (G), называется положительным, если M_l плотна в L₂ (G) и

(Lf , f ) ≥ 0, f Є M_l .

В частности, всякий положительный оператор эрмитов.

Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны .

Доказательство. Пусть λ₀ — собственное значение, u ₀ — соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L , L u ₀ = λ₀ u ₀ . Умножая скалярно это равенство на u ₀ , получим

( L u ₀ , u ₀ ) = ( λ₀ u ₀ , u ₀ ) = λ₀ (u ₀ , u ₀ ) λ₀ || u ₀ ||² = λ₀ . (8)

Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ₀ — вещественное (неотрицательное) число.

Докажем, что любые собственные функции и ₁ и и ₂ , соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂ , ортогональны. Действительно, из соотношений

Lu ₁ = λ₁ и ₁ , Lu ₂ = λ₂ и ₂ ,

из вещественности λ₁ и λ₂ и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств

λ₁ (и ₁ ,и ₂ ) = ( λ и ₁ ,и ₂ ) = ( L и ₁ ,и ₂ ) = (и ₁ , Lu ₂ ) = (и ₁ ,λ ₂ и ₂ ) = =λ ₂ (и ₁ ,и ₂ ),

т.е. λ₁ (и ₁ ,и ₂ ) = λ ₂ (и ₁ ,и ₂ ). Отсюда, поскольку λ₁ ≠ λ ₂ , вытекает, что скалярное произведение (и ₁ ,и ₂ ) равно нулю. Теорема доказана.

Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ₁ ,λ₂ ,..., повтори λ_k столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и ₁ ,и ₂ ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и _k :

Lu _k = λ_k , и _k , k = 1,2,...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ _k } состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ ₁ ,ψ ₂ ,... линейно независимых функций из L₂ (G) преобразуется в ортонормальную систему φ ₁ ,φ ₂ , — следующим процессом ортогонализации Шмидта:

φ ₁ = ψ ₁ /||ψ ₂ || , φ ₂ = ψ ₂ – (ψ _2, φ ₁ ) φ ₁ / || ψ ₂ – (ψ _2, φ ₁ ) φ ₁ ||

φ _k = ψ _k – (ψ _{k ,} φ _{k -1} )φ _{k -1} – … – (ψ _{k ,} φ ₁ )φ ₁ / || ψ _k – (ψ _{k ,} φ _{k -1} )φ _{k -1} – … – – (ψ _{k ,} φ ₁ )φ ₁ ||

При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Таким образом, если система собственных функций {и_к } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:

( Lu _k , u _i ) = λ _k (и _k , u _i ) = λ _k δ_ki

Список литературы

1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.

3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.