Учебное пособие: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Название: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие |
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики 1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y = f ( x ), a ≤ x ≤ b , и имеет плотность 1 ) = ( x ) , то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и O y равны моменты инерции I Х и I у относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам а координаты центра масс и — по формулам где l — масса дуги, т. е. Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии y = chx при 0≤ x ≤ 1. 1 ) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и =1. ◄ Имеем: Следовательно, ► Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти. ◄ Имеем: Отсюда получаем: ► В приложениях часто оказывается полезной следующая Теорема Гульдена . Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс. Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности ◄Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем Отсюда , т.е. центр масс C имеет координаты C . 2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7. Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения. ◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью (t ) за отрезок времени [t1 ,t2 ], выражается интегралом то имеем: ► Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность? <4| Работа переменной силы / (#), действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом |