Контрольная работа: Экономико-математическое моделирование анализа ресурсов

1. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный – 4 ден. Ед. какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Решение:

Условие задачи:

1 составим математическую модель:

Обозначим через x_j количество кг удобрения

x₁ - количество кг обычного удобрения;

x₂ - количество кг улучшенного удобрения.

Цель – наименьшая стоимость удобрения,

F= 3x₁ +4x₂ →min

Ограничения:

По азотным удобрениям 3х₁ +2х₂ ≥10

По фосфорным удобрениям 4х₁ +6х₂ ≥20

По калийным удобрениям 1х₁ +3х₂ ≥7

По смыслу х₁ ≥0 х₂ ≥0

Решим графическим способом.

Первое ограничение (по азоту) имеет вид 3х₁ +2х₂ ≥10 найдем пересечение с осями координат, т. е. 3х₁ +2х₂ =10 – l₁

0<10, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Второе ограничение 4х₁ +6х₂ =20 – l₂

0<20, верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Третье ограничение х₁ +3х₂ =7- l₃

0<7 верно, выбираем полуплоскость по направлению к (.) О

Для определения направления движения к оптиму построим вектор – градиента Їс (с₁ ;с₂ ), координаты которого являются частными производными целевой функции, т. е. с (3;4).

Построим линию уровня l_0, приравняем целевую функцию к 0

3х₁ +4х₂ =0

Передвигая линию уровня l0 в направлении обратном направлению вектора – градиента, т. к задача на минимум, достигнем минимальную точку целевой функции. Найдем координаты этой точки, решая систему из двух уравнений прямых, дающих в пересечении точку минимума:

(.) А = l₁ ∩l₃

3х₁ +2х₂ =10, *3 «-»

4х₁ +6х₂ =20

5х₁ =10

х₁ =2

Подставим в первое уравнение 3*2+2х₂ =10,

2х₂ =10-6,

2х₂ =4,

х₂ =2.

Fmin=3*2+4*2=6+8=14 ден. ед.

График:

Ответ: чтобы обеспечить эффективное питание почвы при минимизированной стоимости, которая составила 14 ден ед, необходимо купить 2 набора обычного удобрения и 2 набора улучшенного. Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т. е Fmax=+∞

2. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теории двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- Проанализировать использования ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- Определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья 1 и2 вида на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья 3 вида;

- Оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которой расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

Сформулируем экономико – математическую модель задачи.

Переменные:

х₁ - количество единиц продукции А,

х₂ - количество единиц продукции Б,

х₃ - количество единиц продукции В,

х₄ - количество единиц продукции Г.

Целевая функция: F=5х₁ +7х₂ +3х₃ +6х₄ →max,

Цель максимизировать выручку от реализации готовой продукции

Ограничение:

По 1 типу ресурса: 2х₁ +х₂ +3х₃ +2х₄ ≤200,

По 2 типу ресурса: х₁ +2х₂ +4х₃ +8х₄ ≤160,

По 3 типу ресурса: 2х₁ +4х₂ +х₃ +х₄ ≤170,

По смыслу х₁ ;х₂ ;х₃ ;х₄ ≥0.

Решение задачи выполним с помощью надстройки Excel Поиск Решения. Выбираем результат поиска решения в форме отчета Устойчивости.

Полученное решение означает, что максимальную выручку 460 ден ед, можем получит при выпуски 80 ед продукции А и 10 ед продукции Г. При это ресурсы 2 и 3 типа будут использоваться полностью, а из 200 ед сырья 1 типа будет использоваться 180 ед сырья.

Сформулируем экономико–математическую модель двойственной задачи

Переменные:

у1- двойственная оценка ресурса 1 типа, или цена 1 ресурса,

у2- двойственная оценка ресурса 2 типа, или цена 2 ресурса,

у3- двойственная оценка ресурса 3 типа, или цена 3 ресурса.

Целевая функция двойственной задачи: необходимо найти такие «цены» у на ресурсы, чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной. G=b₁ *y₁ +b₂ *y₂ +…→min

G=200у₁ +160у₂ +170у₃ →min

Ограничения:

Вы исходной задачи четыре переменных, следовательно в двойственной задаче четыре ограничения.

a_11* y₁ +a₁₂ *y₂ +…≥c₁

a₁₂ *y₁ +a₂₂ *y₂ +…≥c₂

по виду продукции А: 2у₁ +у₂ +2у₃ ≥5,

по виду продукции Б: у₁ +2у₂ +4у₃ ≥7,

по виду продукции В: 3у₁ +4у₂ +у₃ ≥3,

по виду продукции Г: 2у₁ +8у₂ +у₃ ≥6

по смыслу у₁ ; у₂ ; у₃ ≥0

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности:

По 2 теореме- y_i *(∑a_ij *x_j -b_i )=0 и x_j (∑a_ij *y_i -c_j )=0,

у₁ *(2х₁ +х₂ +3х₃ +2х₄ -200)=0 → у₁ (2*80+0+3*0+2*10-200)=0 180<200, то у₁ =0

у_2* (х₁ +2х₂ +4х₃ +8х₄ -160)=0 → у₂ (80+2*0+4*0+8*10-160)=0 ,

у₃ *(2х₁ +4х₂ +х₃ +х₄ -170)=0 → у₃ *(2*80+4*0+0+10-170)=0.

В нашей задачи х1=80>0 и х4=10>0, поэтому первое и четвертое ограничение двойственной задачи обращаются в равенство:

2у₁ +у₂ +2у₃ =5,

2у1+8у₂ +у₃ =6,

у₁ =0,

у₂ +2у₃ =5,

8у₂ +у₃ =6,

Выразим через у₂ =5-2у_3,

8*(5-2у₃ )+у₃ =6,

40-16у₃ +у₃ =6

-15у₃ =-34,

у₃ =34/15,

у₂ =5-2*34/15=7/15,

у₁ =0; у₂ =7/15; у₃ =34/15

G=200*0+160*7/15+170*34/15=460

Проверим выполняемость первой теоремы двойственности:

Fmax=Gmin=460

В нашей задачи в план выпуска не вошла продукция Б и В, потому что затраты по ним превышают цену на 3 ден ед (10-7=3) и 1,133 ден ед (4,1333-3=1,133) соответственно.

Подставим в ограничения двойственной задачи оптимальные значения у:

2*0+7/15+2*34/15=5=5,

0+2*7/15+4*34/15=10≥7,

3*0+4*7/15+34/15=4,133≥3,

2*0+8*7/15+34/15=6=6.

Так как запас ресурсов 1, 2 типа сырья изменяться на 8 и 10 единицы (увеличиться) и 3 типа уменьшаться на 5 единиц. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению F.

F=∆b_i *y_i

F=8*0+10*7/15+(-5)*34/15=-6,667, следовательно, увеличение запасов ресурсов 1 и 2 типа на 8 и 10 ед. и уменьшение 3 типа на 5 ед приведет к уменьшению значения целевой функции на -6,667 ден ед.

По условию задачи для изготовления изделия Д используется:

Сырье 1 типа а*₁ =2,

Сырье 2 типа а*₂ =2,

Сырье 3 типа а*₃ =2

Ожидаемая прибыль от данного изделия Д с*=10 ден ед.

Для оценки целесообразности продукта Д, рассчитаем чистый доход

е=с*-∑а*_i *y_i

е=10-(2*0+2*7/15+2*34/15)=4,533

следовательно, целесообразно включать в план изделие Д, т.к. е=4,533>0.

3. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие – продукции второго вида, третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление) остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителями, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов уi вектора конечной продукции У.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А=(а_ij ) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Решение:

Найдем продуктивность А с помощью достаточного условия ||A||max(0,3;0,2;0,5)=0,5<1

Следовательно матрица А продуктивна

Подготовим таблицу матричного баланса

Используем соотношение Х=(Е-А)’*У, полученное в соответствие модели Леонтьева для определения валового выпуска для этого найдем: (Е-А)’ – матрицу полных затрат (Е – единичная матрица),

Найдем обратную матрицу (Е-А)’ используя функцию в Excel (fx/математическая/МоБР),

Найдем величины валовой продукции, используя в Excel (fx/математическая/МУМНОЖ)

Рассчитаем величины производственных затрат по формуле

X_ij =a_ij *x_j

aij- технологическая матрица

xj-строка валового выпуска,

Проверим баланс конечной и условно чистой продукции

∑Y_I =∑Z_J , ∑X_i =∑X_j ,

Z=175.7803+184.7134+69.50637=430 =Y=150+180+100=430

Xi=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191=Xj=251.1146+230.8917+139.0127=621.0191

Заполняем таблицу, подготовленную выше, матричного баланса полученными данными.

4. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос У(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице.

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель Y(t)=a₀ +a₁ t параметры которой оценить МНК (Y(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R\S- критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).

4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитывать при доверительной вероятности р=70%)

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

Построим график:

Проверим на анормальность - 9 неделю, у₉ =23

Оставшиеся наблюдения

Для оставшихся рассчитаем: у_ср - среднее значение; S_y – средне квадратичное отклонение, используя функции Excel;

Вычислим статистику Стьюдента – t_наб =| y*-y_ср |/S_y

у_ср = 13,625 (fx/статистические/СРЗНАЧ)

Sy= 6,836254457 (fx/статистическая/СТАНДОТКЛОН)

При L=5%, K=n-2=9-2=7,

t_кр = 2,36462256 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР)

t_наб = |23-13,625|/6,84=1,371364986

t_наб =1,37<t_кр =2,36

Следовательно, наблюдаемое у₉ не является аномальной и не требует замены.

С помощью программы РЕГРЕССИИ (в Excel сервис/анализ данных/РЕГРЕССИЯ) рассчитаем и получим:

Модель построена, ее уравнение у_t =a+b*t, t-момент времени, у_t - теоретическое моделирование значения У, а,b- коэффициенты модели

a=1.166666667, b=2.7, следовательно у_t =1,166666667+2,7t

коэффициент регрессии b=2,7, т. е. с каждым годом спрос на кредитные ресурсы финансовой компании в среднем возрастают на 2,7 млн. руб.

Рассмотрим столбец Остатки и построим с помощью «мастер диаграмм» в Excel график остатков:

1 подсчитаем количество поворотных точек р для рядов остатков – р=5

2 критическое количество определим формулой - р_кр =[2*(n-2)/3-1,96*√16*n-29/90]

[ ] – целая часть; n- количество исходных данных

р_кр =[2*(9-2)/3-1,96*√16*9-29/90]=2,451106=2

3 сравним фактическое р с р_кр

р=5 > р_кр =2 следовательно, свойство случайности выполняется.

Для проверки независимости уровней ряда остатков:

1 вычислим d- статистику (критерий Дарбина – Уотсона)

2 вычислить первый коэффициент автокорреляции r(1)

для расчетов подготовим –

∑e² (t) = 14,6 - используем Excel fx/математическая/СУММКВ),

∑(e(t)-e(t-1))² = 32,32 – используем Excel fx/математическая/СУММКВРАЗН) – 1 массив кроме 1-го, 2 массив кроме последнего.

d=∑(e(t)-e(t-1))² / ∑e² (t) = 32,32/14,6=2,213699

По таблице Значения d-критерия Дарбина – Уотсона определим, что d₁ = 1,08 и d₂ = 1,36

Т.е. наше d=2,213699 € (1.08;1,36), следовательно нужна дополнительная проверка, найдем d’=4-d=4-2,213699=1,786301, т.е d’ € (1,36;2)

не выпол-ся доп. Прове-ка выпол-ся d ’=4- d

0 d₁ d₂ 2 4 d

следовательно, свойство независимости уровней ряда остатков выполняются, остатки независимы.

Для проверки нормального распределения остатков вычислим R/S – статистику

R/S=e_max -e_{min /} S_e

е_max - максимальный уровень ряда остатков,

е_min - минимальный уровень ряда остатков,

S- среднеквадратичное отклонение.

е_max =2,2333333 используем Excel fx/статистическая/МАКС),

е_min =-2,466666667 используем Excel fx/статистическая/МИН),

Se=1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»

Следовательно, R/S=2,2333333 - (-2,466666667)/ 1,444200224=3,254396

Критический интервал (2,7;3,7), т.е R/S=3,254396 € (2,7;3,7), свойство нормального распределения остатков выполняется.

Подводя итоги проверки можно сделать вывод, что модель ведет себя адекватно.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн = |e(t)/Y(t)|*100% по полученным значениям определить среднее значение (fx/математическая/СРЗНАЧ)

E_{отн ср} =8,853564 – хороший уровень точности модели

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставим соответствующие значения t=10 и t=11:

у₁₀ =1,166666667+2,7*10=28,16666667

у₁₁ =1,166666667+2,7*11= 30,86666667,

Ожидаемый спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю должен составить около 28,16666667 млн. руб., а на 11 неделю около 30,86666667 млн. руб.

При уровне значимости L=30%, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при к=n-2=9-2=7, равен

t_кр (30%;7)=1,119159 (fx/статистическая/СТЬЮДРАСПОБР),

S_e =1,444200224 1-я таблица Итогов регрессии строка «стандартная ошибка»,

t’_ср = 5(fx/математическая/СРЗНАЧ) - средний уровень по рассматриваемому моменту времени,

∑(t-t’_ср )=60 (fx/статистическая/КВАДРОТКЛ),

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

U₁ =t*Se*√1+1/n+(t*-t’)² /∑(t-t’_ср )= 1,119159*1,444200224*√1+1/9+(10-5)² /60=1,997788

U₂ =t*Se*√1+1/n+(t*-t’)² /∑(t-t’_ср )=1,119159*1,444200224*√1+1/9+(11-5)² /60= 2,11426

Далее вычислим верхнюю и нижнюю границы прогноза u_ниж =y₁₀ -u₁ ; u_верх =у₁₀ +u₁ ; u_ниж =y₁₁ -u₁ ; u_верх =у₁₀ +u₁

u_ниж =28,16666667-1,997788=26,16888

u_верх =28,16666667+1,997788=30,16445

u_ниж =30,86666667-2,11426=28,75241

u_ниж =30,86666667+2,11426= 32,98093

Спрос на кредитные ресурсы финансовой компании на 10 неделю в пределах от 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 неделю от 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.

Строим график: