Задача 1. Х= 1

Для Вашей компании существуют 4 возможных направления инвестирования капитала в размере 200 тыс. условных единиц сроком на 1 год:

1. Облигации государственного займа, по которым гарантировано 7% дохода через год.

2. Облигации газовой компании с фиксированным доходом и сроком займа на 10 лет. Однако, Ваша компания продает облигации в конце 1-го года, т.е. процент будет известен в конце года (см. таблицу).

3. Проект А, предполагающий выплаты в конце года, которые будут зависеть от состояния экономики.

4. Проект В, аналогичный проекту А, но с другим распределением выплат.

Требуется оценить ожидаемый доход и риск для всех четырех вариантов и выбрать один из них. Информация о предполагаемых доходах содержится в таблице.

Таблица 1. Норма дохода, %

При выборе решения в качестве критериев риска используется показатель:

R = H_ij ∙ p

где р – вероятность наступления рискового события.

Предпочтение отдается решению, имеющему наименьший средневзвешенный показатель риска, определяемый как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее им значение потерь:

R_i =∑_j=1 H_ij ∙ p_j , (i=1,m)

Потери (Н_ij ) рассчитываются как разность между ожидаемым результатом действия при наличии точных данных обстановки и результатом, который может быть достигнут, если данные определены:

Н_{ij (PiOj)} = max_j a_ij – a_ij

Определим для нашего задачи max_j a_{ij .}

Теперь определим величины потерь для каждого варианта инвестирования капитала и для каждого состояния экономики.

Рассчитаем показатель риска для каждого варианта решения, воспользовавшись формулой: R_i =∑_j=1 H_ij ∙ p_j , (i=1,m)

Общая величина риска при различных вариантах инвестирования:

Таким образом, наименее рискованным является приобрести облигации газовой компании. Здесь подразумевается риск упущенной выгоды (потери).

Выбор того или иного решения зависит не только от целевых установок и ограничений, но и от склонности к риску лиц, принимающих данное решение.

Одним из классических критериев, учитывающих также и этот параметр, является критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица. Данный критерий, как правило, используется, если требуется остановиться между стратегией (линией поведения) в расчете на худшее и линией поведения в расчете на лучшее.

В этом случае предпочтение отдается варианту решений, для которого окажется максимальный показатель G_i , определенный по формуле:

G_i = k ∙(min_j a_ij ) + (1-k)∙ (max_j a_ij )

где k – коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0≤k≤1), при этом k=0 – линия поведения в расчете на лучшее, при k=1 – в расчете на худшее; а_ij – выигрыш, соответствующий i-му решению при j-м варианте обстановки. При k=1 критерий Гурвица ориентирован на осторожное поведение. При k=0 – ориентация на предельный риск, т.к. большой выигрыш, как правило, сопряжен с большим риском. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от обстановки и склонности к риску лица, принимающего решения.

Определим критерии Гурвица для различных вариантов решений и значений коэффициента k, для этого воспользовавшись вспомогательной таблицей, в которой мы определим максимальные и минимальные значения a_ij .

Определение оптимального решения с учетом критерия Гурвица

Из данных таблицы видно, что в условиях неопределенности лицо, ориентированное на любое поведение, кроме риска, выберет реализацию оптимального для него решения Р₂ , и только лицо, ориентированное на предельный и близкий к предельному риск, предпочтет реализацию оптимального решения Р₄ .

Выбором является решение P2.

Задача 2. X=2

Эксперты компании "ХМК" определили следующие показатели прибыли (тыс руб) в зависимости от вида стратегии и ситуации на рынке.

1. Стратегия при благоприятной конъюнктуре.

Если известно, что конъюнктура благоприятна – значит, можно сделать оптимистический прогноз.

Воспользуемся критерием Гурвица.

Наиболее оптимистичное решение – при к=0. Значит, наилучший стратегией будет выпуск морозильников.

2. Условия реализации неблагоприятны.

Подсчитаем некоторые статистические показатели.

Если условия неблагоприятны, то выбрать стоит стратегию, которая грозит минимальным риском. В данном случае это означает, что дисперсия между максимальной и минимальной прибылью должна быть минимальна, поэтому нет необходимости подсчитывать риски. То есть, в случае неудачи – потери будут меньше и поэтому надо выпускать холодильники.

3. Существует следующий риск:

При выборе решения в качестве критериев риска используется показатель:

R = H_ij ∙ p

где р – вероятность наступления рискового события.

Предпочтение отдается решению, имеющему наименьший средневзвешенный показатель риска, определяемый как сумма произведений вероятностей различных вариантов обстановки на соответствующее им значение потерь:

R_i =∑_j=1 H_ij ∙ p_j , (i=1,m)

Потери (Н_ij ) рассчитываются как разность между ожидаемым результатом действия при наличии точных данных обстановки и результатом, который может быть достигнут, если данные определены:

Н_{ij (PiOj)} = max_j a_ij – a_ij

Определим для нашего задачи max_j a_{ij .}

Теперь определим величины потерь для каждого варианта стратегии и для каждой ситуации.

Величина риска:

Как видно, стратегией с минимальным риском является выпуск кондиционеров, при заданных вероятностях событий.

Задача 3. X=2

Выпускник школы выбирает работу. Работа сторожем гарантирует ему ежемесячный заработок 2 тыс. руб. и много свободного времени. Работа контролером в общественном транспорте обеспечивает ему заработок в зависимости от количества оштрафованных: с вероятностью 0,4 заработок составит 1,8 тыс. руб. и с вероятностью 0,6 - 3 тыс. руб. Полезность в зависимости от дохода для выпускника представлена в таблице.

Какую работу выберет выпускник, максимизирующий полезность и чему равна премия за риск?

Исходя из условия максимизации полезности, выпускник должен выбрать работу с полезностью 27 или 19 у.е. Такую полезность он получит при доходе 3,2 и 2.8 тыс. рублей, соответственно.

Так как работа сторожем может обеспечить только 2,0 тыс. руб. в месяц, при этом полезность равна 5 у.е., значит выпускник предпочтет работу контролером в общественном транспорте (из условия максимизации полезности). Эта работа может обеспечить ему в свою очередь только 3,2 тыс. руб. в месяц, соответственно, полезность в размере 27 у.е.

Премия за риск составляет 1 тыс. рублей (см. таблицу).

Задача 4. X=2

В первых графах таблицы приведены статистические данные о финансовых инструментах А, Б и В. Проанализировать риск этих инструментов (оценить стандартное отклонение и коэффициент вариации), а также возможных портфелей, если предприниматель может выбрать одну из двух стратегий:

а) выбрать один из финансовых инструментов;

б) составить портфель, в котором 50% будет составлять один из активов и 50% - другой.

Годовые % возможных инвестиций

Коэффициент вариации (ν) рассчитывается по формуле:

Стандартное отклонение (σ):

Дисперсия (Д):

Сгруппируем полученные данные по коэффициенту вариации, т.е. по степени риска.

Если предприниматель должен выбрать один из финансовых инструментов А, Б, или В (стратегия а), то наименее рискованным для него будет инструмент В (коэффициент вариации 4,7%).

Если предприниматель может составить портфель из этих инструментов, то наименее рискованным является портфель АВ, включающий 50% инструмента А и 50% инструмента В.

Задача 5. X=2

В портфеле предприятия "Сибин" находятся два вида акций с разными среднегодовыми нормами доходности – акции "А" и акции "Б" с соответствующими характеристиками абсолютного размера риска в виде среднеквадратических отклонений σ (А) и σ (Б). Коэффициент корреляции текущих норм доходности акций "А" и "Б" равен: –1.

Найти пропорцию распределения денежных средств, инвестируемых в акции, соответствующие минимуму риска (нулевой дисперсии).

Известно, что коэффициент корреляции равен –1. Данный коэффициент рассчитывается по формуле:

, (1)

где х и y – зависимые величины. В нашем случае это нормы доходности акций А и Б, т.е.:

= 11

= 15,5

Подставим значения этих величин в формулу коэффициента корелляции:

Выразим :

Значит средняя величина произведений норм доходности акций А и Б равна 102,19.

При распределении денежных средств, соответствующим минимуму риска, дисперсия стремится к нулю.

Выразим из формулы (1) произведение σ_А σ_Б и приравняем к нулю.

= 0

Значит распределение средств должно быть таким, чтобы произведение средних норм доходности акций было равно 102,19.

Список литературы

1. Романов В.С. Понятие рисков и их классификация как основной элемент теории рисков // Инвестиции в России. — 2000г. — № 12, с. 41—43

2. Романов В.С., Бутуханов А. В. Рискообразующие факторы: характеристика и влияние на риски // Управление риском. — 2001 г. № 3, с.10—12.

3. Романов В. С. Риск-менеджмент как условие развития предприятия. Теория и практика реструктуризации предприятий: Сборник материалов Всероссийской научно-практической конференции. Пенза, 2001 г. — с.144—146.

4. Романов В. С. Управление рисками: этапы и методы // Факты и проблемы практики менеджмента: Материалы научно-практической конференции 30 октября 2001 г. — Киров: Изд-во Вятского ГЛУ, 2001 г. — с. 71—77.

5. Станиславчик Е. Н. Риск-менеджмент на предприятии. Теория и практика. М.: "Ось-89", 2002. – 80 с..