Изложение: Основные понятия математического анализа
Название: Основные понятия математического анализа Раздел: Рефераты по математике Тип: изложение |
Содержание Двойные интегралы Определение определенного интеграла Правило вычисления двойного интеграла. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла. Тройные интегралы Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Несобственные интегралы. Дифференциальные уравнения. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 3. Линейные дифференциальные уравнения 4. Уравнения Бернулли Дифференциальные уравнения второго порядка. Три случая понижения порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа Геометрическое изображение комплексных чисел Действия над комплексными числами. Произведение. Частное. Возведение в степень. Извлечение корня Ряды. Числовые ряды. Свойства числовых рядов. Знакоположительные ряды Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Определение определенного интеграла - интегральная сумма. Геометрический смысл ОИ : равен площади криволинейной трапеции. Аналогично ОИ выводится и двойной интеграл. Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y), которая определена в замкнутой области S плоскости ХОУ. Интегральной суммой для этой функции называется сумма Она распространяется на те значения i и к, для которых точки (xi ,yk ) принадлежат области S. Двойной интеграл от функции z=f(x,y), определенной в замкнутой области S плоскости ХОУ, называется предел соответствующей интегральной суммы. Правило вычисления двойного интеграла Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования. 1. (Рис.1) Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=в и кривыми . Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле: Сначала вычисляется внутренний интеграл: При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считается переменной, а ‘х’-постоянной. 2. (Рис.2) Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=dи кривыми . Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле: Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний. При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной. 3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла Объем тела, ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y), снизу- плоскостью z=0 (плоскость ХОУ) и с боков- цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости ХОУ область S, вычисляется по формуле: Вычисление площадей поверхностей фигур с помощью двойного интеграла Если гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y), то площадь поверхности (Sпов.), имеющей своей проекцией на плоскость ХОУ область S, находится по формуле: - площадь поверхности. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Определяется аналогично двойному интегралу. Тройной интеграл от функции U=f(x,y,z), распространенным на область V, называется предел соответствующей трехкратной суммы. Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению обыкновенных (однократных) нтегралов. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла Объем тела вычисляется по формуле: Это интегралы: - с бесконечными пределами; - от неограниченной функции. Первый вид Несобственные интегралы с бесконечными пределами имеют вид: ; ; Несобственные интегралы от функции в пределах от (а) до () определяются равенством. 1 .; 2 . ; 3 . Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся ; если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся (ряд сходится или расходится?). Это и есть ответ. Второй вид Несобственные интегралы от неограниченной функции имеют вид: , где существует точка “с” (точка разрыва) такая, что ; , т.е. (в частности c=a; c=b). Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке “с” отрезка [a;b] и непрерывна при или , то полагаем: Если пределы в правой части последнего равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл сходится , если пределы не существуют или равны бесконечности - то расходятся . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 . Дифференциальное уравнение - уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные . Символически дифференциальное уравнение выглядит: F(x,y,y’,y’’…,y( n ) )=0 или . 2 . Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение: Пример. F(x,y,y’)=0- дифференциальное уравнение первого порядка. F(x,y,y’,y’’)=0- дифференциальное уравнение второго порядка. 3 . Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , которая при подстановке в уравнение, обращает его в верное тождество. Для того чтобы решить дифференциальное уравнение надо его проинтегрировать. Пример . Дифференциальное уравнение первого порядка. Общее и частное решения. F(x,y,y’)=0 Это уравнение можно привести к виду y’=f(x,y). Интегрируем уравнение. После вычисления возникает постоянная С. Поэтому решение фактически зависит не только от х, но и от С, т.е. y=f(x,C). Придавая С различные значения, мы получаем множество различных решений дифференциального уравнения. Эти решения (y=f(x,C)) называются общим решением дифференциального уравнения. Придавая С различные значения получаем различные решения дифференциального уравнения. Так как С имеет бесконечное множество значений, то и решений будет бесконечное множество (которые отличаются друг от друга путем сдвига на несколько единиц). Геометрически общее решение представляет собой семейство кривых на координатной плоскости ХОУ. Частное решение . Пусть в дифференциальном уравнении заданы дополнительные условия, что при х=х0 функция принимает значение у=у0. Это дополнительное условие называется начальным условием и записывается: а ). у=у0 при х=х0; б ). ; в ). у(х0)=у0. Геометрически начальное условие означает некоторую точку (х0,у0) на плоскости ХОУ. Подставляя в начальное условие , находим вполне определенные значения постоянной С. Тогда является частным решением уравнения. Геометрически частное решение обозначает: начальное условие задает некоторую точку на плоскости и из семейства кривых (общее решение) выбирается та единственная кривая, которая проходит через эту точку. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (теорема Коши ). Если в дифференциальном уравнении y=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области Д на плоскости ХОУ, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,у0) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0. Геометрически смысл заключается в следующем: каждой точке (х0,у0) области Д соответствует только одна интегральная кривая, проходящая через эту точку (каждой точке соответствует только одно частное решение). Замечание . “Найти частное решение”=“Решить задачу Коши”. Существует 4 вида дифференциальных уравнений первого порядка. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения первого порядка в общем виде можно записать либо через производные F(x,y,y’)=0, либо через дифференциалы . Дифференциальное уравнение- уравнение с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде: - - через производную. - - через дифференциал. В этих уравнениях в произведениях стоят функции, каждая из которых зависит от одной переменной (х или у). Т.е. уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными, если его можно преобразовать так, чтобы в одной его части была только одна переменная, а в другой – только другая. Замечание. При решении дифференциальное уравнение ответу можно придать различную форму в зависимости от того, как записана произвольная постоянная С. Решение. - ; -интегрируем и получаем решение. - ; Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Функция f(x,y) называется однородной функцией n–го измерения, если при любом выполняется условие: . Дифференциальное уравнение y’=f(x,y) есть однородное, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 однородное, если P(x,y) и Q(x,y) являются однородными функциями одного и того же измерения. P(x,y)dx=-Q(x,y)dy; Однородное уравнение всегда можно привести к виду и с помощью замены однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными (; y=xt; y’=t+xt’). Линейные дифференциальные уравнения ЛДУ - уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)– первого порядка относительно у и у’. Для решения ЛДУ применяем замену: y=UV, тогда y’=U’V+UV’ U’V+UV’+P(x)UV=Q(x) V(U’+P(x)U)+UV’=Q(x) Далее U’+P(x)U=0, получаем два уровнения с разделяющимися переменными: 1 ). U’+P(x)U=0 находим U. 2 ). UV’=Q(x) находим V. . С ставится только при вычислении второго уравнения. Замечание . Выражение, стоящее в скобках, можно прировнять к нулю, т.к. одну из функций можно взять произвольной, другую – определяем на основании ЛДУ. Уравнения Бернулли УБ - дифференциальные уравнения вида y’+P(x)y=Q(x)*yn , где - т.к. при этих значениях уравнение будет линейным. УБ решаются так же, как и линейные. Дифференциальные уравнения второго порядка Дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде записываются: F(x,y,y’,y’’)=0 Как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка существуют общее и частное решения. Но, если для дифференциальных уравнений первого порядка решение зависело от одной константы С, то для дифференциальных уравнений второго порядка решение зависит от двух постоянных: - общее решение. Если заданы начальные условия (у=у0, у=у0 при х=х0), то получаем частное решение, удовлетворяющее этим начальным условиям. Начальные условия так же могут задаваться в виде: у=у0 при х=х0; у=у1 при х=х1. 1. Случай непосредственного интегрирования F(x,y”)=0 y’’=f(x)- решение этого уравнения находится путем двукратного интегрирования. ; ; ; 2. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F ( x , y ’, y ”)=0 С помощью замены у’=р; это уравнение приводим к уравнению первого порядка . 3. Когда дифференциальное уравнение явно не содержит х, т.е. F ( y , y ’, y ”)=0. С помощью замены y’=p, это уравнение приводим к уравнению первого порядка . Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейными однородными дифурами второго порядка с постоянными коэффициентами называются уравнения вида: y’’+py’+qy=0, где p и q – некоторые числа. Составим характеристическое уравнение: , которое получается из данного уравнения путем замены в нем производных искомой функции соответствующими степенями “к”. Причем сама функция заменяется единицей. Если к1 и к2 – корни характериситического уравнения, то общее решение однородного уравнения имеет один из следующих трех видов: 1). , если к1 и к2 – действительные и различные, т.е. D>0. 2). , если к1 и к2 – действительные и равные, т.е. к1=к2, D=0. 3). , если к1 и к2 – комплексные, т.е. ; D<0. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Имеют вид: , где p и q– некоторые числа. Общее решение имеет вид:, где y0 - общее решение соответствующего однородного уравнения; - частное решение соответствующего однородного уравнения. Т.е. для нахождения общего решения неоднородного уравнения ‘у’, сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения у0, а затем частное решение , и складывают их. Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов . Для нахождения частных решений рассмотрим несколько случаев. 1. Пусть правая часть f(x) имеет вид: , где Pn (x) – многочлен n–ой степени. Тогда возможны следующие 3 случая: А) . Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k2 +pk+q=0, то частное решение имеет вид: , где Qn (x) – многочлен той же степени, что и Pn (x), только с неопределенными коэффициентами. Например . Pn (x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Qn (x)=A; Pn (x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Qn (x)=Ax+B; Pn (x)=x2 - многочлен 2-ой степени (n=2). Qn (x)=Ax2 +Bx+C; Pn (x)=3x3 -3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Qn (x)=Ax3 +Bx2 +Cx+D. Замечание . Многочлен Qn (x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения. Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k2 +pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: . В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k2 +pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: . Итог . Если , то , где r– кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если ‘а’ не есть корень; r=1, если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2, если ‘а’ совпадает с двумя корнями. 2. Если правая часть f(x) имеет вид:, где Pn ( x ) –многочлен n–ой степени; Qm ( x ) -многочлен m–ой степени. Тогда возможны следующие два случая: А). Если не является корнем характеристического уравнения k2 +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: , где SN (x), TN (x)–многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов SN (x) и TN (x) равна наибольшей из степеней многочленов Pn (x) и Qm (x). Б). Если является корнем характеристического уравнения k2 +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: Замечание . - Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. Pn (x)=0 или Qm (x)=0, то частное решение все равно записывается в полоном виде. - Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f1 (x)+ f2 (x)+… fn (x)), то . - Так же рассматриваем все комбинации при расчете : cosx, sinx, xcosx, xsinx,x2 cosx, x2 sinx. Комплексным числом (z) называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица. i определяется: i2 =-1 , отсюда . х- действительная часть (x=Rez); у- мнимая часть (y=Imz). Геометрическое изображение комплексных чисел Существуют следующие формы комплексных чисел: алгебраическая (x+iy), тригонометрическая (r(cos+isin)), показательная (rei ). Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить на плоскости ХОУ в виде точки А(х,у). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставим символ z). Ось ОХ – действительная ось, т.е. на ней лежат действительные числа. ОУ – мнимая ось с мнимыми числами. x + iy - алгебраическая форма записи комплексного числа. Выведем тригонометрическую форму записи комплексного числа. ; Подставляем полученные значения в начальную форму: , т.е. r ( cos + isin ) - тригонометрическая форма записи комплексного числа. Показательная форма записи комплексного числа следует из формулы Эйлера: , тогда z=rei - показательная форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами 1. сложение. z1 +z2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2); 2 . вычитание. z1 -z2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2); 3. умножение. z1 z2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2 )+i(x1y2+x2y1); 4 . деление. z1 /z2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= Два комплексных числа, которые отличаются только знаком мнимой единицы, т.е. z=x+iy (z=x-iy), называются сопряженными. Произведение - Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме. z1=r(cos+isin); z2=r(cos+isin). То произведение z1*z2 комплексных чисел находится: , т.е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей. - Если комплексные числа заданы в показательной форме. ; ; Частное - Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме. - Если комплексные числа заданы в показательной форме. 1. Комплексное число задано в алгебраической форме. z=x+iy, то zn находим по формуле бинома Ньютона :
zn =(x+iy)n . - число сочетаний из n элементов по m (число способов, сколькими можно взять n элементов из m). ; n!=1*2*…*n; 0!=1; . Применяем для комплексного числа. В полученном выражении нужно заменить степени i их значениями: i0 =1 Отсюда, в общем случае получаем: i4 k =1 i1 =i i4k+1 =i i2 =-1 i4k+2 =-1 i3 =-i i4k+3 =-i i4 =1 i5 =i i6 =-1 Пример . i31 = i28 i3 =-i i1063 = i1062 i=i 2. Если комплексное число задано в тригонометрической форме. z=r(cos+isin), то - формула Муавра . Здесь nможет быть как “+” так и “-” (целым). 3. Если комплексное число задано в показательной форме: Рассмотрим уравнение: . Его решением будет корень n–ой степени из комплексного числа z: . Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет ровно n решений (значений). Корень из действующего числа n-ой степени имеет только одно решение. В комплексных – n решений. Если комплексное число задано в тригонометрической форме: z=r(cos+isin), то корень n-ой степени от z находится по формуле: , где к=0,1…n-1. Числовые ряды Пусть переменная а принимает последовательно значения а1 ,а2 ,а3 ,…,аn . Такое перенумерованное множество чисел называется последовательностью. Она бесконечна. Числовым рядом называется выражение а1 +а2 +а3 +…+аn +…= . Числа а1 ,а2 ,а3 ,…,аn – члены ряда. Например. а1 – первый член ряда. аn – n-ый или общий член ряда. Ряд считается заданным, если известен n-ый (общий член ряда). Числовой ряд имеет бесконечное число членов. Числители – арифметическая прогрессия (1,3,5,7…). n-ый член находится по формуле аn =а1 +d(n-1); d=аn -аn-1 . Знаменатель – геометрическая прогрессия . bn =b1 qn -1 ; . Рассмотрим сумму первых n членов ряда и обозначим ее Sn. Sn=а1+а2+…+аn . Sn – n-ая частичная сумма ряда. Рассмотрим предел: S - сумма ряда. Ряда сходящийся , если этот предел конечен (конечный предел S существует). Ряд расходящийся , если этот предел бесконечен. В дальнейшем наша задача заключается в следующем: установить какой ряд. Одним из простейших, но часто встречающихся рядов является геометрическая прогрессия. , C=const. Геометрическая прогрессия является сходящимся рядом , если , и расходящимся, если . Также встречается гармонический ряд (ряд ). Этот ряд расходящийся . Свойства числовых рядов 1. Если сходится а1 +а2 +а3 +…+аn +…=, то сходится и ряд аm +1 +аm+2 +аm+3 +…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов. 2 . Если ряд а1 +а2 +а3 +… сходится и его сумма равна S, то ряд Са1 +Са2 +…, где С= так же сходится и его сумма равна СS. 3. Если ряды а1 +а2 +… и b1 +b2 +… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а1 +b1 )+(а2 +b2 )+(а3 +b3 )+… и (а1 -b1 )+(а2 -b2 )+(а3 -b3 )+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2. 4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно). - необходимый признак (условие) сходимости ряда . б). Если то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда . -ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды. Знакоположительные ряды Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов. Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов. 1. Первый признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда а1 +а2 +а3 +…+аn +…=(1) и b1 +b2 +b3 +…+bn +…=(2). Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn bn и ряд (2) сходится , то и ряд (1) также сходится. Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn bn и ряд (2) расходится , то и ряд (1) также расходится. Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого. 2. Второй признак сравнения Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. -ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом. 3. Признак Даламбера Если для знакоположительного ряда (а1 +а2 +а3 +…+аn +…=) существует (1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым. 4. Признак Коши радикальный Если для знакоположительного ряда существует предел (2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым. 5. Признак Коши интегральный Вспомним несобственные интегралы. Если существует предел . Это есть несобственный интеграл и обозначается . Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится. Пусть ряд а1 +а2 +а3 +…+аn +…=- знакоположительный ряд. Обозначим an =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится. Если ряд конечен, то он сходится. Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле . Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются. Пусть задан знакопеременный ряд а1 +а2 +а3 +…+аn +…= (1) (члены как + так и -). Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом. Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу). Если ряд (3) расходится, а: - ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся; - ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится. При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится. Схема Если (3) – сходится (1) - сходится абсолютно. Если (3) – расходится При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов. Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный , то расходится не только ряд (3), но и ряд (1) . Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости : Признак Лейбница Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn0) выполняются условия: 1 . b1b2b3b4…; 2 . , - то данный ряд сходится условно . |